中心が$(-3, 0, a)$、半径が4の球面が、$xy$平面と交わってできる円の半径が2であるとき、$a$の値を求めよ。

1. 問題の内容

中心が$(-3, 0, a)$、半径が4の球面が、$xy$平面と交わってできる円の半径が2であるとき、$a$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

球面の方程式は、中心$(-3, 0, a)$、半径4なので、

$(x + 3)^2 + y^2 + (z - a)^2 = 4^2 = 16$

$xy$平面の方程式は$z = 0$である。

$xy$平面との交わりは、上記2式を連立させて求める。$z = 0$を球面の方程式に代入すると、

$(x + 3)^2 + y^2 + (0 - a)^2 = 16$

$(x + 3)^2 + y^2 + a^2 = 16$

$(x + 3)^2 + y^2 = 16 - a^2$

この円の半径が2なので、

$16 - a^2 = 2^2 = 4$

$a^2 = 16 - 4 = 12$

$a = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$a = 2\sqrt{3}, -2\sqrt{3}$