以下の3つの問題について、与えられた $\theta$ の範囲 $-\pi \le \theta \le \pi$ において、2つの逆三角関数の値を同時に満たす $\theta$ が存在する象限と、その時の $\theta$ の値を求めよ。 (1) $\theta = \cos^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})$, $\theta = \sin^{-1}(\frac{1}{2})$ (2) $\theta = \cos^{-1}(-\frac{\sqrt{3}}{2})$, $\theta = \sin^{-1}(\frac{1}{2})$ (3) $\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$, $\theta = \sin^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})$

1. 問題の内容

以下の3つの問題について、与えられた $\theta$ の範囲 $-\pi \le \theta \le \pi$ において、2つの逆三角関数の値を同時に満たす $\theta$ が存在する象限と、その時の $\theta$ の値を求めよ。

(1) $\theta = \cos^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})$, $\theta = \sin^{-1}(\frac{1}{2})$

(2) $\theta = \cos^{-1}(-\frac{\sqrt{3}}{2})$, $\theta = \sin^{-1}(\frac{1}{2})$

(3) $\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$, $\theta = \sin^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})$

2. 解き方の手順

(1)

$\cos^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})$ の値は $\frac{\pi}{6}$ である。

$\sin^{-1}(\frac{1}{2})$ の値は $\frac{\pi}{6}$ である。

したがって、$\theta = \frac{\pi}{6}$ は両方の式を満たす。

$\frac{\pi}{6}$ は第一象限にある。

(2)

$\cos^{-1}(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ の値は $\frac{5\pi}{6}$ である。

$\sin^{-1}(\frac{1}{2})$ の値は $\frac{\pi}{6}$ である。

したがって、両方の式を同時に満たす$\theta$は存在しない。

(3)

$\cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$ の値は $\frac{\pi}{4}$ である。

$\sin^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})$ の値は $-\frac{\pi}{4}$ である。

したがって、両方の式を同時に満たす$\theta$は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) 第一象限、$\theta = \frac{\pi}{6}$

(2) 存在しない

(3) 存在しない