(1) 中心が (3, 0) で、直線 $4x - 3y - 2 = 0$ に接する円の方程式を求める問題です。 (2) 中心が直線 $y = 3x$ 上にあり、直線 $2x + y = 0$ に接し、点 (2, 1) を通る円の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

(1) 中心が (3, 0) で、直線 $4x - 3y - 2 = 0$ に接する円の方程式を求める問題です。

(2) 中心が直線 $y = 3x$ 上にあり、直線 $2x + y = 0$ に接し、点 (2, 1) を通る円の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 円の中心が (3, 0) であるから、円の方程式は $(x - 3)^2 + y^2 = r^2$ と表せます。この円が直線 $4x - 3y - 2 = 0$ に接するので、中心 (3, 0) と直線 $4x - 3y - 2 = 0$ の距離が半径 $r$ に等しくなります。点と直線の距離の公式を用いると、

$r = \frac{|4(3) - 3(0) - 2|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|12 - 2|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{10}{5} = 2$

したがって、円の方程式は $(x - 3)^2 + y^2 = 2^2 = 4$ となります。

(2) 円の中心が直線 $y = 3x$ 上にあるので、中心の座標を $(a, 3a)$ と置けます。円の方程式は $(x - a)^2 + (y - 3a)^2 = r^2$ と表せます。この円が直線 $2x + y = 0$ に接するので、中心 $(a, 3a)$ と直線 $2x + y = 0$ の距離が半径 $r$ に等しくなります。点と直線の距離の公式を用いると、

$r = \frac{|2a + 3a|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|5a|}{\sqrt{5}} = |a\sqrt{5}|$

したがって、$r^2 = 5a^2$ となります。円の方程式は $(x - a)^2 + (y - 3a)^2 = 5a^2$ と表せます。

この円が点 (2, 1) を通るので、円の方程式に $x = 2, y = 1$ を代入すると、

$(2 - a)^2 + (1 - 3a)^2 = 5a^2$

$4 - 4a + a^2 + 1 - 6a + 9a^2 = 5a^2$

$5a^2 - 10a + 5 = 0$

$a^2 - 2a + 1 = 0$

$(a - 1)^2 = 0$

$a = 1$

したがって、中心は (1, 3) で、半径は $r = |1\sqrt{5}| = \sqrt{5}$ です。円の方程式は $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 5$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $(x - 3)^2 + y^2 = 4$

(2) $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 5$