与えられた2点A, Bを結ぶ線分の垂直二等分線の方程式を求める問題です。 (1) A(2, 0), B(0, 4) (2) A(-1, -2), B(2, 7)

1. 問題の内容

与えられた2点A, Bを結ぶ線分の垂直二等分線の方程式を求める問題です。

(1) A(2, 0), B(0, 4)

(2) A(-1, -2), B(2, 7)

2. 解き方の手順

(1) A(2, 0), B(0, 4) の場合

* 線分ABの中点Mの座標を求める。

中点の座標は、$M(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$で求められます。

$M(\frac{2+0}{2}, \frac{0+4}{2}) = M(1, 2)$

* 線分ABの傾きを求める。

傾きは、$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$で求められます。

$m = \frac{4-0}{0-2} = -2$

* 垂直二等分線の傾きを求める。

垂直な直線の傾きは、$m' = -\frac{1}{m}$で求められます。

$m' = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$

* 中点M(1, 2)を通り、傾きが1/2の直線の方程式を求める。

直線の方程式は、$y - y_1 = m'(x - x_1)$で求められます。

$y - 2 = \frac{1}{2}(x - 1)$

$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + 2$

$y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

両辺を2倍して整理すると、$x - 2y + 3 = 0$

(2) A(-1, -2), B(2, 7) の場合

* 線分ABの中点Mの座標を求める。

$M(\frac{-1+2}{2}, \frac{-2+7}{2}) = M(\frac{1}{2}, \frac{5}{2})$

* 線分ABの傾きを求める。

$m = \frac{7 - (-2)}{2 - (-1)} = \frac{9}{3} = 3$

* 垂直二等分線の傾きを求める。

$m' = -\frac{1}{3}$

* 中点M(1/2, 5/2)を通り、傾きが-1/3の直線の方程式を求める。

$y - \frac{5}{2} = -\frac{1}{3}(x - \frac{1}{2})$

$y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{6} + \frac{5}{2}$

$y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{6} + \frac{15}{6}$

$y = -\frac{1}{3}x + \frac{16}{6}$

$y = -\frac{1}{3}x + \frac{8}{3}$

両辺を3倍して整理すると、$x + 3y - 8 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $x - 2y + 3 = 0$

(2) $x + 3y - 8 = 0$