円 $x^2 + y^2 = 50$ の接線が、以下の条件を満たすとき、その接線の方程式と接点の座標を求める問題です。 (1) 直線 $x + y = 1$ に平行 (2) 直線 $7x + y = -2$ に垂直

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 50$ の接線が、以下の条件を満たすとき、その接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

(1) 直線 $x + y = 1$ に平行

(2) 直線 $7x + y = -2$ に垂直

2. 解き方の手順

(1) 直線 $x + y = 1$ に平行な接線について

* 平行な直線の傾きは等しいので、求める接線の傾きは $x + y = 1$ から $y = -x + 1$ と変形して、$-1$ であることがわかります。

* よって、求める接線の方程式は、$y = -x + k$ とおくことができます。

* これを $x^2 + y^2 = 50$ に代入して、$x^2 + (-x + k)^2 = 50$ を得ます。

* 展開して整理すると、$2x^2 - 2kx + k^2 - 50 = 0$ となります。

* この2次方程式が重解を持つ条件（判別式 $D = 0$）を考えます。

$D/4 = (-k)^2 - 2(k^2 - 50) = k^2 - 2k^2 + 100 = -k^2 + 100 = 0$

* よって、$k^2 = 100$ より $k = \pm 10$ となります。

* 接線の方程式は $y = -x \pm 10$ となります。

* $2x^2 - 2kx + k^2 - 50 = 0$ に $k = \pm 10$ を代入して、$x$ を求めます。

* $k = 10$ のとき、$2x^2 - 20x + 50 = 0$ より $x^2 - 10x + 25 = 0$ つまり $(x - 5)^2 = 0$ より $x = 5$。このとき、$y = -5 + 10 = 5$。接点は $(5, 5)$。

* $k = -10$ のとき、$2x^2 + 20x + 50 = 0$ より $x^2 + 10x + 25 = 0$ つまり $(x + 5)^2 = 0$ より $x = -5$。このとき、$y = -(-5) - 10 = -5$。接点は $(-5, -5)$。

(2) 直線 $7x + y = -2$ に垂直な接線について

* 垂直な直線の傾きの積は $-1$ なので、求める接線の傾きは、$7x + y = -2$ から $y = -7x - 2$ と変形して、$-7$ の逆数の符号を変えたもの、つまり $\frac{1}{7}$ であることがわかります。

* よって、求める接線の方程式は、$y = \frac{1}{7}x + k$ とおくことができます。

* これを $x^2 + y^2 = 50$ に代入して、$x^2 + (\frac{1}{7}x + k)^2 = 50$ を得ます。

* 展開して整理すると、$x^2 + \frac{1}{49}x^2 + \frac{2}{7}kx + k^2 = 50$ より $\frac{50}{49}x^2 + \frac{2}{7}kx + k^2 - 50 = 0$。

* 両辺を $49$ 倍して整理すると、$50x^2 + 14kx + 49(k^2 - 50) = 0$ となります。

* この2次方程式が重解を持つ条件（判別式 $D = 0$）を考えます。

$D/4 = (7k)^2 - 50 \cdot 49(k^2 - 50) = 49k^2 - 50 \cdot 49k^2 + 50^2 \cdot 49 = 49(k^2 - 50k^2 + 2500) = 49(-49k^2 + 2500) = 0$

* $-49k^2 + 2500 = 0$ より $49k^2 = 2500$ よって $k^2 = \frac{2500}{49}$ より $k = \pm \frac{50}{7}$ となります。

* 接線の方程式は $y = \frac{1}{7}x \pm \frac{50}{7}$ となります。

* $50x^2 + 14kx + 49(k^2 - 50) = 0$ に $k = \pm \frac{50}{7}$ を代入して、$x$ を求めます。

* $k = \frac{50}{7}$ のとき、$50x^2 + 14(\frac{50}{7})x + 49(\frac{2500}{49} - 50) = 50x^2 + 100x + 49(2500/49 - 2450/49) = 50x^2 + 100x + 49(50/49) = 50x^2 + 100x + 50 = 0$ より $x^2 + 2x + 1 = 0$ つまり $(x + 1)^2 = 0$ より $x = -1$。このとき、$y = \frac{1}{7}(-1) + \frac{50}{7} = \frac{49}{7} = 7$。接点は $(-1, 7)$。

* $k = -\frac{50}{7}$ のとき、$50x^2 + 14(-\frac{50}{7})x + 49(\frac{2500}{49} - 50) = 50x^2 - 100x + 50 = 0$ より $x^2 - 2x + 1 = 0$ つまり $(x - 1)^2 = 0$ より $x = 1$。このとき、$y = \frac{1}{7}(1) - \frac{50}{7} = -\frac{49}{7} = -7$。接点は $(1, -7)$。

3. 最終的な答え

(1) 直線 $x + y = 1$ に平行な接線：

* 接線の方程式：$y = -x + 10$ 接点の座標：$(5, 5)$

* 接線の方程式：$y = -x - 10$ 接点の座標：$(-5, -5)$

(2) 直線 $7x + y = -2$ に垂直な接線：

* 接線の方程式：$y = \frac{1}{7}x + \frac{50}{7}$ 接点の座標：$(-1, 7)$

* 接線の方程式：$y = \frac{1}{7}x - \frac{50}{7}$ 接点の座標：$(1, -7)$