(1) 直線 $x + 2y = 0$ に関して、点 A(3, -4) と対称な点 B の座標を求めます。 (2) 直線 $x + y + 1 = 0$ に関して、点 A(3, 2) と対称な点 B の座標を求めます。

1. 問題の内容

(1) 直線 $x + 2y = 0$ に関して、点 A(3, -4) と対称な点 B の座標を求めます。

(2) 直線 $x + y + 1 = 0$ に関して、点 A(3, 2) と対称な点 B の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点 A(3, -4) と点 B(p, q) が直線 $x + 2y = 0$ に関して対称であるとき、以下の2つの条件が成り立ちます。

(i) 線分 AB の中点が直線 $x + 2y = 0$ 上にある。

(ii) 直線 AB と直線 $x + 2y = 0$ が垂直である。

(i) 線分 AB の中点は $(\frac{3+p}{2}, \frac{-4+q}{2})$ であり、これが直線 $x + 2y = 0$ 上にあるので、

$\frac{3+p}{2} + 2(\frac{-4+q}{2}) = 0$

$3+p - 8 + 2q = 0$

$p + 2q = 5$ ...(1)

(ii) 直線 AB の傾きは $\frac{q-(-4)}{p-3} = \frac{q+4}{p-3}$ であり、直線 $x + 2y = 0$ の傾きは $-\frac{1}{2}$ です。2つの直線が垂直であるので、

$\frac{q+4}{p-3} \times (-\frac{1}{2}) = -1$

$q+4 = 2(p-3)$

$q+4 = 2p - 6$

$2p - q = 10$ ...(2)

(1)と(2)の連立方程式を解きます。

(1)より $p = 5 - 2q$ ...(3)

(3)を(2)に代入して、$2(5 - 2q) - q = 10$

$10 - 4q - q = 10$

$-5q = 0$

$q = 0$

$q=0$ を(3)に代入して、$p = 5 - 2(0) = 5$

したがって、点 B の座標は (5, 0) です。

(2) 点 A(3, 2) と点 B(p, q) が直線 $x + y + 1 = 0$ に関して対称であるとき、以下の2つの条件が成り立ちます。

(i) 線分 AB の中点が直線 $x + y + 1 = 0$ 上にある。

(ii) 直線 AB と直線 $x + y + 1 = 0$ が垂直である。

(i) 線分 AB の中点は $(\frac{3+p}{2}, \frac{2+q}{2})$ であり、これが直線 $x + y + 1 = 0$ 上にあるので、

$\frac{3+p}{2} + \frac{2+q}{2} + 1 = 0$

$3+p + 2+q + 2 = 0$

$p + q = -7$ ...(4)

(ii) 直線 AB の傾きは $\frac{q-2}{p-3}$ であり、直線 $x + y + 1 = 0$ の傾きは $-1$ です。2つの直線が垂直であるので、

$\frac{q-2}{p-3} \times (-1) = -1$

$\frac{q-2}{p-3} = 1$

$q-2 = p-3$

$p - q = 1$ ...(5)

(4)と(5)の連立方程式を解きます。

(4)より $p = -7 - q$ ...(6)

(6)を(5)に代入して、$(-7 - q) - q = 1$

$-7 - 2q = 1$

$-2q = 8$

$q = -4$

$q=-4$ を(6)に代入して、$p = -7 - (-4) = -3$

したがって、点 B の座標は (-3, -4) です。

3. 最終的な答え

(1) (5, 0)

(2) (-3, -4)