平行四辺形ABCDにおいて、対角線BDの中点をE、辺ADを3:2に内分する点をFとする。$\vec{AB} = \vec{b}, \vec{AD} = \vec{d}$とするとき、以下の問いに答えよ。 (1) $\triangle$BCDの重心をGとするとき、$\vec{AG}$を$\vec{b}, \vec{d}$で表せ。 (2) 直線AEと直線BFの交点をSとするとき、$\vec{AS}$を$\vec{b}, \vec{d}$で表せ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、対角線BDの中点をE、辺ADを3:2に内分する点をFとする。$\vec{AB} = \vec{b}, \vec{AD} = \vec{d}$とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) $\triangle$BCDの重心をGとするとき、$\vec{AG}$を$\vec{b}, \vec{d}$で表せ。

(2) 直線AEと直線BFの交点をSとするとき、$\vec{AS}$を$\vec{b}, \vec{d}$で表せ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle$BCDの重心Gについて、位置ベクトルの定義より

$\vec{AG} = \frac{\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}}{3}$

平行四辺形の性質より、$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{b} + \vec{d}$であるから、

$\vec{AG} = \frac{\vec{b} + (\vec{b} + \vec{d}) + \vec{d}}{3} = \frac{2\vec{b} + 2\vec{d}}{3} = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{d}$

(2) 点Sは直線AE上にあるので、実数$s$を用いて、

$\vec{AS} = s\vec{AE}$ と表せる。

$\vec{AE} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD}) = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{d})$より、

$\vec{AS} = \frac{s}{2}\vec{b} + \frac{s}{2}\vec{d}$ ...(1)

点Sは直線BF上にあるので、実数$t$を用いて、

$\vec{AS} = \vec{AB} + t\vec{BF}$と表せる。

$\vec{AF} = \frac{3}{5}\vec{AD} = \frac{3}{5}\vec{d}$より、

$\vec{BF} = \vec{AF} - \vec{AB} = \frac{3}{5}\vec{d} - \vec{b}$

$\vec{AS} = \vec{b} + t(\frac{3}{5}\vec{d} - \vec{b}) = (1-t)\vec{b} + \frac{3t}{5}\vec{d}$ ...(2)

(1), (2)より、$\vec{b}, \vec{d}$は一次独立なので、

$\frac{s}{2} = 1 - t$

$\frac{s}{2} = \frac{3t}{5}$

これを解くと、$t = \frac{5}{8}$, $s = \frac{3}{4}$

したがって、$\vec{AS} = \frac{3}{8}\vec{b} + \frac{3}{8}\vec{d}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{AG} = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{d}$

(2) $\vec{AS} = \frac{3}{8}\vec{b} + \frac{3}{8}\vec{d}$