平面上の3点 $O, A, B$ があり、線分 $AB$ を $5:7$ に内分する点を $C$、線分 $AB$ を $7:4$ に外分する点を $D$ とします。 $\vec{OC} = s \vec{OA} + (1-s) \vec{OB}$ と表すとき、$s$ の値を求め、$\vec{CD} = t \vec{AB}$ と表すとき、$t$ の値を求めます。

1. 問題の内容

平面上の3点 $O, A, B$ があり、線分 $AB$ を $5:7$ に内分する点を $C$、線分 $AB$ を $7:4$ に外分する点を $D$ とします。

$\vec{OC} = s \vec{OA} + (1-s) \vec{OB}$ と表すとき、$s$ の値を求め、$\vec{CD} = t \vec{AB}$ と表すとき、$t$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、点 $C$ は線分 $AB$ を $5:7$ に内分するので、

$\vec{OC} = \frac{7 \vec{OA} + 5 \vec{OB}}{5+7} = \frac{7}{12} \vec{OA} + \frac{5}{12} \vec{OB}$

と表せます。

$\vec{OC} = s \vec{OA} + (1-s) \vec{OB}$ との係数を比較して、

$s = \frac{7}{12}$

$1-s = \frac{5}{12}$

次に、点 $D$ は線分 $AB$ を $7:4$ に外分するので、

$\vec{OD} = \frac{-4 \vec{OA} + 7 \vec{OB}}{7-4} = \frac{-4}{3} \vec{OA} + \frac{7}{3} \vec{OB}$

と表せます。

$\vec{CD} = \vec{OD} - \vec{OC} = \left(\frac{-4}{3} \vec{OA} + \frac{7}{3} \vec{OB}\right) - \left(\frac{7}{12} \vec{OA} + \frac{5}{12} \vec{OB}\right)$

$= \left(\frac{-16}{12} - \frac{7}{12}\right) \vec{OA} + \left(\frac{28}{12} - \frac{5}{12}\right) \vec{OB} = \frac{-23}{12} \vec{OA} + \frac{23}{12} \vec{OB}$

$= \frac{23}{12} (\vec{OB} - \vec{OA}) = \frac{23}{12} \vec{AB}$

したがって、$t = \frac{23}{12}$

3. 最終的な答え

$s = \frac{7}{12}$

$t = \frac{23}{12}$