問題3は、ベクトル $\vec{a} = (1, -2, 2)$ と $\vec{b} = (1, 0, 1)$ の外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を求める問題です。 問題4は、基本ベクトル $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ に関する計算問題です。 (a) $\vec{k} \times \vec{j}$ (b) $3\vec{i} \times (-2\vec{j})$ (c) $\vec{k} \cdot (\vec{i} \times \vec{k})$ (d) $\vec{j} \times (\vec{k} + \vec{i})$

1. 問題の内容

問題3は、ベクトル $\vec{a} = (1, -2, 2)$ と $\vec{b} = (1, 0, 1)$ の外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を求める問題です。

問題4は、基本ベクトル $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ に関する計算問題です。

(a) $\vec{k} \times \vec{j}$

(b) $3\vec{i} \times (-2\vec{j})$

(c) $\vec{k} \cdot (\vec{i} \times \vec{k})$

(d) $\vec{j} \times (\vec{k} + \vec{i})$

2. 解き方の手順

問題3：外積の計算

外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ は次のように計算できます。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = ((-2)(1) - (2)(0))\vec{i} - ((1)(1) - (2)(1))\vec{j} + ((1)(0) - (-2)(1))\vec{k} = -2\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k}$

したがって、$\vec{a} \times \vec{b} = (-2, 1, 2)$です。

問題4：基本ベクトルに関する計算

(a) $\vec{k} \times \vec{j} = -\vec{i}$

(b) $3\vec{i} \times (-2\vec{j}) = -6(\vec{i} \times \vec{j}) = -6\vec{k}$

(c) $\vec{k} \cdot (\vec{i} \times \vec{k}) = \vec{k} \cdot (-\vec{j}) = 0$

(d) $\vec{j} \times (\vec{k} + \vec{i}) = \vec{j} \times \vec{k} + \vec{j} \times \vec{i} = \vec{i} - \vec{k}$

3. 最終的な答え

問題3： $\vec{a} \times \vec{b} = (-2, 1, 2)$

問題4：

(a) $-\vec{i}$

(b) $-6\vec{k}$

(c) 0

(d) $\vec{i} - \vec{k}$