立方体の各面を隣り合う面同士が異なる色になるように塗る。与えられた色をすべて使うとき、塗り分け方は何通りあるか。ただし、回転して同じになる場合は同じ塗り方とみなす。 (1) 6色を用いる場合 (2) 5色を用いる場合 (3) 4色を用いる場合

1. 問題の内容

立方体の各面を隣り合う面同士が異なる色になるように塗る。与えられた色をすべて使うとき、塗り分け方は何通りあるか。ただし、回転して同じになる場合は同じ塗り方とみなす。

(1) 6色を用いる場合

(2) 5色を用いる場合

(3) 4色を用いる場合

2. 解き方の手順

底面の色を固定して考えます。

(1) 6色を用いる場合

底面の色を6色の中から1色選びます。残りの5色で側面を塗ります。

底面の色を固定すると、上面の色の選び方は5通りです。

残りの4色は側面を円順列で塗るので、$(4-1)! = 3! = 6$通りです。

したがって、塗り分け方は $6 \times 5 \times 6 = 180$通りです。

(2) 5色を用いる場合

まず、どの2つの面を同じ色にするかを選びます。

隣り合う面は同じ色にできないので、向かい合う2面を同じ色にする必要があります。

向かい合う面の選び方は3通りです。

底面の色を5色の中から1色選びます。

次に、向かい合う面の色を残り4色の中から1色選びます。

残りの3色で側面を塗るので、$(3-1)! = 2! = 2$通りです。

したがって、塗り分け方は $3 \times 5 \times 4 \times 2 = 120$通りです。

(3) 4色を用いる場合

まず、どの2色をそれぞれ2回使うかを選びます。

4色の中から2色を選ぶ組み合わせは $_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通りです。

それぞれの2色のうち、どちらの2面を同じ色にするか考えます。

まず1色目の2面を決めると、もう一方の色は残った2面となります。

1色目の2面は向かい合う面を選ばなければなりません。向かい合う2面の選び方は3通りです。

底面の色を4色の中から1色選びます。

残りの3色から2色を使い、向かい合う面を塗ります。

残りの1色は側面に塗ります。

側面の塗り方は2通りです。

したがって、塗り分け方は $6 \times 3 \times 4 \times 2 = 144$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 180通り

(2) 120通り

(3) 144通り