座標平面において、円 $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 12 = 0$ をCとし、その中心をAとします。 (i) Aの座標とCの半径を求めます。 (ii) Aを通り、傾きが2である直線の方程式を求めます。 (iii) 直線 $y = -x + k$ とCが接するようなkの値を求めます。

1. 問題の内容

座標平面において、円 $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 12 = 0$ をCとし、その中心をAとします。

(i) Aの座標とCの半径を求めます。

(ii) Aを通り、傾きが2である直線の方程式を求めます。

(iii) 直線 $y = -x + k$ とCが接するようなkの値を求めます。

2. 解き方の手順

(i) 円の方程式を平方完成します。

$x^2 - 6x + y^2 + 4y + 12 = 0$

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) + 12 - 9 - 4 = 0$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 1$

よって、円の中心Aの座標は(3, -2)であり、半径は1です。

(ii) 点(3, -2)を通り、傾きが2である直線の方程式は、

$y - (-2) = 2(x - 3)$

$y + 2 = 2x - 6$

$y = 2x - 8$

(iii) 円 $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 1$ と直線 $y = -x + k$ が接する条件は、円の中心(3, -2)と直線 $x + y - k = 0$ との距離が半径1に等しいことです。

点と直線の距離の公式より、

$\frac{|3 + (-2) - k|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = 1$

$\frac{|1 - k|}{\sqrt{2}} = 1$

$|1 - k| = \sqrt{2}$

$1 - k = \pm \sqrt{2}$

$k = 1 \mp \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(i) Aの座標は (3, -2)、Cの半径は 1 である。

(ii) Aを通り、傾きが2である直線の方程式は、$y = 2x - 8$ である。

(iii) 直線 $y = -x + k$ とCが接するようなkの値は、$k = 1 \pm \sqrt{2}$ である。