平行四辺形ABCDにおいて、辺ABを3:2に内分する点をE、対角線BDを2:5に内分する点をFとする。 (1) 3点E, F, Cが一直線上にあることを証明する。 (2) EF:FCを求める。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺ABを3:2に内分する点をE、対角線BDを2:5に内分する点をFとする。

(1) 3点E, F, Cが一直線上にあることを証明する。

(2) EF:FCを求める。

2. 解き方の手順

(1)

ベクトル$\vec{a} = \vec{OA}$, $\vec{c} = \vec{OC}$とすると、

$\vec{b} = \vec{OB} = \vec{a} + \vec{CD} = \vec{a} + \vec{OC} - \vec{OD} = \vec{a} + \vec{c}$

$\vec{OD} = \vec{a} + \vec{OC} - \vec{OB} = \vec{c} - \vec{a}$

である。

点Eは辺ABを3:2に内分する点なので、

$\vec{OE} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{3+2} = \frac{2\vec{a} + 3(\vec{a}+\vec{c})}{5} = \frac{5\vec{a} + 3\vec{c}}{5} = \vec{a} + \frac{3}{5}\vec{c}$

点Fは対角線BDを2:5に内分する点なので、

$\vec{OF} = \frac{5\vec{b} + 2\vec{OD}}{2+5} = \frac{5(\vec{a}+\vec{c}) + 2(\vec{c} - \vec{a})}{7} = \frac{3\vec{a} + 7\vec{c}}{7} = \frac{3}{7}\vec{a} + \vec{c}$

$\vec{EF} = \vec{OF} - \vec{OE} = \frac{3}{7}\vec{a} + \vec{c} - (\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{c}) = -\frac{4}{7}\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{c} = \frac{2}{35}(-10\vec{a} + 5\vec{c})$

$\vec{EC} = \vec{OC} - \vec{OE} = \vec{c} - (\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{c}) = -\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{c} = \frac{1}{5}(-5\vec{a} + 2\vec{c})$

$\vec{EF} = k\vec{EC}$となるような実数kが存在すれば、3点E, F, Cは一直線上にある。

$-\frac{4}{7}\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{c} = k(-\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{c})$

$-\frac{4}{7} = -k$, $\frac{2}{7} = \frac{2}{5}k$

$k = \frac{4}{7}$, $k = \frac{5}{7}$

これは成り立たない。$\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OD} = \vec{d}$

$\vec{OE} = \frac{3}{5}\vec{b} = \frac{3}{5}\vec{AB} = \frac{3}{5}(\vec{OB}-\vec{OA})$

$\vec{OF} = \frac{2}{7}\vec{OD} = \frac{2}{7}\vec{OB}$

$\vec{OE} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{5}$

$\vec{OF} = \frac{5\vec{b} + 2\vec{d}}{7}$

$\vec{a} = \vec{0}$とおくと、

$\vec{b} = \vec{AB}, \vec{d} = \vec{AD}$

$\vec{OE} = \frac{3}{5}\vec{AB}$, $\vec{OF} = \frac{2}{7}(\vec{AB} + \vec{AD})$

$\vec{OC} = \vec{AB} + \vec{AD}$

$\vec{EF} = \vec{OF} - \vec{OE} = \frac{2}{7}(\vec{AB} + \vec{AD}) - \frac{3}{5}\vec{AB} = (\frac{2}{7} - \frac{3}{5})\vec{AB} + \frac{2}{7}\vec{AD} = -\frac{11}{35}\vec{AB} + \frac{2}{7}\vec{AD}$

$\vec{EC} = \vec{OC} - \vec{OE} = \vec{AB} + \vec{AD} - \frac{3}{5}\vec{AB} = \frac{2}{5}\vec{AB} + \vec{AD}$

$\vec{EF} = k\vec{EC}$とすると、

$-\frac{11}{35}\vec{AB} + \frac{2}{7}\vec{AD} = k(\frac{2}{5}\vec{AB} + \vec{AD})$

$-\frac{11}{35} = \frac{2}{5}k$, $\frac{2}{7} = k$

$k = -\frac{11}{14}$, $k = \frac{2}{7}$

Aを原点とすると、

$\vec{AE} = \frac{3}{5}\vec{AB}$

$\vec{AF} = \frac{2}{7}\vec{AC} + \frac{5}{7}\vec{AD}$

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$

$\vec{AF} = \frac{2}{7}\vec{AB} + \frac{5}{7}\vec{AD}$

$\vec{EC} = \vec{AC} - \vec{AE} = \vec{AB} + \vec{AD} - \frac{3}{5}\vec{AB} = \frac{2}{5}\vec{AB} + \vec{AD}$

$\vec{EF} = \vec{AF} - \vec{AE} = \frac{2}{7}\vec{AB} + \frac{5}{7}\vec{AD} - \frac{3}{5}\vec{AB} = -\frac{11}{35}\vec{AB} + \frac{5}{7}\vec{AD}$

$\vec{EF} = k\vec{EC}$

$-\frac{11}{35}\vec{AB} + \frac{5}{7}\vec{AD} = k(\frac{2}{5}\vec{AB} + \vec{AD})$

$-\frac{11}{35} = \frac{2}{5}k$, $\frac{5}{7} = k$

$k = -\frac{11}{14}$, $k = \frac{5}{7}$

3. 最終的な答え

(1) 証明不可能

(2) 比が存在しない