原点O、点A($a$)を定点、点P($p$)を動点とする。次のベクトル方程式で点Pはどのような図形を表すか。 (1) $|p - 2a| = 2$ (2) $p \cdot p = 2p \cdot a$

1. 問題の内容

原点O、点A($a$)を定点、点P($p$)を動点とする。次のベクトル方程式で点Pはどのような図形を表すか。

(1) $|p - 2a| = 2$

(2) $p \cdot p = 2p \cdot a$

2. 解き方の手順

(1)

$|p - 2a| = 2$ は、点Pと点2Aの距離が2であることを意味します。したがって、点Pは点2Aを中心とする半径2の円周上にあることがわかります。

(2)

$p \cdot p = 2p \cdot a$を変形します。

$p \cdot p - 2p \cdot a = 0$

$p \cdot p - 2p \cdot a + a \cdot a = a \cdot a$

$(p - a) \cdot (p - a) = a \cdot a$

$|p - a|^2 = |a|^2$

$|p - a| = |a|$

これは、点Pと点Aの距離が原点Oと点Aの距離に等しいことを意味します。したがって、点Pは点Aを中心とする半径$|a|$の円周上にあることがわかります。

3. 最終的な答え

(1) 点2Aを中心とする半径2の円

(2) 点Aを中心とする半径$|a|$の円