与えられた条件が、それぞれ「平行四辺形であること」、「正方形であること」、「正三角形であること」のためのどのような条件であるかを答える問題です。

1. 問題の内容

与えられた条件が、それぞれ「平行四辺形であること」、「正方形であること」、「正三角形であること」のためのどのような条件であるかを答える問題です。

2. 解き方の手順

(7) 四角形ABCDにおいて、平行四辺形であることは、$AB // DC$ であるための何条件か。

平行四辺形であるためには、$AB // DC$ であるだけでは不十分です。例えば、台形でも$AB // DC$ となる場合があります。平行四辺形であるためには、$AB // DC$ かつ $AD // BC$ であるか、$AB // DC$ かつ $AB = DC$ である必要があります。したがって、$AB // DC$ は平行四辺形であるための必要条件ですが、十分条件ではありません。

(8) 四角形ABCDにおいて、$AB = BC = CD = DA$ は、正方形であるための何条件か。

$AB = BC = CD = DA$ は、ひし形であるための条件です。正方形はひし形の一種ですが、正方形であるためには、さらに一つの内角が90度である必要があります。したがって、$AB = BC = CD = DA$ は正方形であるための必要条件ですが、十分条件ではありません。

(9) $\triangle ABC$において、$\angle A + \angle B = 120^{\circ}$ は、正三角形であるための何条件か。

三角形の内角の和は180度なので、$\angle C = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$です。正三角形であるためには、3つの角がすべて60度である必要があります。$\angle C = 60^{\circ}$ なので、$\angle A = \angle B = 60^{\circ}$であれば正三角形になります。

$\angle A + \angle B = 120^{\circ}$より、$\angle A = \angle B = 60^{\circ}$とは限りません。例えば、$\angle A = 30^{\circ}, \angle B = 90^{\circ}$でも条件を満たします。

したがって、必要条件でも十分条件でもありません。$\angle A + \angle B = 120^{\circ}$だけでは、正三角形であるとは限りません。よって、必要条件でも十分条件でもありません。

3. 最終的な答え

(7) 必要条件

(8) 必要条件

(9) 必要条件でも十分条件でもない