一辺の長さが2の正六角形ABCDEFにおいて、以下のベクトルの内積を求める問題です。 (1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AO}$ (2) $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC}$ (3) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD}$ (4) $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BF}$

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正六角形ABCDEFにおいて、以下のベクトルの内積を求める問題です。

(1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AO}$

(2) $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC}$

(3) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD}$

(4) $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BF}$

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AO}$

$\overrightarrow{AB}$の長さは2であり、$\overrightarrow{AO}$の長さは正六角形の中心から頂点までの距離なので、一辺の長さと同じで2です。

$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AO}$のなす角は30度なので、

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AO} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AO}| \cos 30^\circ = 2 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

(2) $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{OA}$の長さは2であり、$\overrightarrow{OC}$の長さは2です。$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OC}$のなす角は120度なので、

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = |\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OC}| \cos 120^\circ = 2 \cdot 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -2$

(3) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD}$

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}$と変形できる。

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AB}$の長さは2であり、$\overrightarrow{AD}$の長さは4です。$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AD}$のなす角は60度なので、

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AD}| \cos 60^\circ = 2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 4$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{AB}|^2 = 2^2 = 4$

よって、$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD} = 4 - 4 = 0$

(4) $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BF}$

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA}$と変形できる。また、$\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AB}$と変形できる。

$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BF} = (\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA}) \cdot (\overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AF} = 2 \cdot 2\sqrt{3} \cos 90^\circ = 0$

$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AB} = 2 \cdot 2 \cos 120^\circ = -2$

$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AF} = 2 \cdot 2\sqrt{3} \cos 30^\circ = 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6$

$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AB} = -4$

よって、$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BF} = 0 - (-2) - 6 + (-4) = 2 - 6 - 4 = -8$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AO} = 2\sqrt{3}$

(2) $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = -2$

(3) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD} = 0$

(4) $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BF} = -8$