問題は次の3つの問いからなります。 (1) 点$(-2, 4, 3)$を通り、直線$\frac{x}{3} = \frac{y}{-2} = z$ に平行な直線の方程式を求める。 (2) 点$(2, 1, -5)$を通り、平面$3x - 2y + z - 5 = 0$ に垂直な直線の方程式を求める。 (3) 点$(2, -1, 0)$を通り、平面$4x - y - 3z - 5 = 0$ に平行な平面の方程式を求める。

1. 問題の内容

問題は次の3つの問いからなります。

(1) 点$(-2, 4, 3)$を通り、直線$\frac{x}{3} = \frac{y}{-2} = z$ に平行な直線の方程式を求める。

(2) 点$(2, 1, -5)$を通り、平面$3x - 2y + z - 5 = 0$ に垂直な直線の方程式を求める。

(3) 点$(2, -1, 0)$を通り、平面$4x - y - 3z - 5 = 0$ に平行な平面の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた直線 $\frac{x}{3} = \frac{y}{-2} = z$ の方向ベクトルは $(3, -2, 1)$ である。求める直線は点 $(-2, 4, 3)$ を通り、この方向ベクトルに平行なので、その方程式は

$\frac{x - (-2)}{3} = \frac{y - 4}{-2} = \frac{z - 3}{1}$

すなわち

$\frac{x + 2}{3} = \frac{y - 4}{-2} = z - 3$

(2)

与えられた平面 $3x - 2y + z - 5 = 0$ の法線ベクトルは $(3, -2, 1)$ である。求める直線は点 $(2, 1, -5)$ を通り、この法線ベクトルに平行なので、その方程式は

$\frac{x - 2}{3} = \frac{y - 1}{-2} = \frac{z - (-5)}{1}$

すなわち

$\frac{x - 2}{3} = \frac{y - 1}{-2} = z + 5$

(3)

与えられた平面 $4x - y - 3z - 5 = 0$ の法線ベクトルは $(4, -1, -3)$ である。求める平面は点 $(2, -1, 0)$ を通り、この法線ベクトルを持つので、その方程式は

$4(x - 2) - 1(y - (-1)) - 3(z - 0) = 0$

$4x - 8 - y - 1 - 3z = 0$

$4x - y - 3z - 9 = 0$

すなわち

$4x - y - 3z = 9$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x + 2}{3} = \frac{y - 4}{-2} = z - 3$

(2) $\frac{x - 2}{3} = \frac{y - 1}{-2} = z + 5$

(3) $4x - y - 3z = 9$