$\sin 105^\circ$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\sin 105^\circ$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sin 105^\circ$ の値を求めるために、加法定理を利用します。

$105^\circ$ は $45^\circ + 60^\circ$ と分解できるので、$\sin(45^\circ + 60^\circ)$ を計算します。

加法定理は以下の通りです。

$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$

この加法定理に $A = 45^\circ$、$B = 60^\circ$ を代入します。

$\sin(45^\circ + 60^\circ) = \sin 45^\circ \cos 60^\circ + \cos 45^\circ \sin 60^\circ$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

これらの値を代入すると、

$\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$= \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}$

$= \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$