点Pは直線 $y = x + 3$ 上の点で、$x$ 座標は $a$ ($a > 0$) である。点Aは $x$ 軸上の点で、線分 $PO = PA$ を満たす。三角形 $POA$ の面積が 28 cm$^2$ であるとき、点Pの座標を求めよ。

1. 問題の内容

点Pは直線 $y = x + 3$ 上の点で、$x$ 座標は $a$ ($a > 0$) である。点Aは $x$ 軸上の点で、線分 $PO = PA$ を満たす。三角形 $POA$ の面積が 28 cm$^2$ であるとき、点Pの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

* OHの長さは、点Pのx座標が $a$ なので、$OH = a$ となる。

* PHの長さは、点Pのy座標に等しい。点Pは直線 $y = x + 3$ 上にあるので、$PH = a + 3$ となる。

* OAの長さを求める。 $PO = PA$ なので、点Pからx軸に下ろした垂線の足Hは線分OAの中点である。したがって $OA = 2 * OH = 2a$ となる。

* 三角形 $POA$ の面積は $\frac{1}{2} \times OA \times PH = 28$ である。$OA = 2a$ と $PH = a + 3$ を代入すると、$\frac{1}{2} \times 2a \times (a+3) = 28$ となる。

* 上式を整理する。$\frac{1}{2} \times 2a \times (a+3) = a(a+3) = 28$ より、$a^2 + 3a = 28$、つまり、$a^2 + 3a - 28 = 0$ となる。

* 二次方程式を解く。$(a + 7)(a - 4) = 0$ より、$a = -7, 4$ となる。$a > 0$ であるので、$a = 4$ となる。

* 点Pの座標を求める。点Pの座標は $(a, a+3)$ であり、$a = 4$ なので、点Pの座標は $(4, 4+3) = (4, 7)$ となる。

3. 最終的な答え

OH = a

PH = a + 3

a(a+3) - 28 = 0 よって a = 4

したがって、a > 0 より、求める点Pの座標は (4, 7) となる。