点Pのx座標を$a$（$a>0$）とし、点Pからx軸に垂線を下ろし、x軸との交点をHとする。OHの長さは$a$ cm、PHの長さは$a+3$ cmである。三角形POAの面積が28 cm$^2$であるとき、点Pの座標を求める問題である。

1. 問題の内容

点Pのx座標を$a$（$a>0$）とし、点Pからx軸に垂線を下ろし、x軸との交点をHとする。OHの長さは$a$ cm、PHの長さは$a+3$ cmである。三角形POAの面積が28 cm$^2$であるとき、点Pの座標を求める問題である。

2. 解き方の手順

まず、三角形POAの面積を$a$を用いて表す。

三角形POAの面積は、$\frac{1}{2} \times OA \times PH$ で与えられ、これが28 cm$^2$に等しい。

問題文より、$OH = a$である。

図を見ると、$OA = OH + HA$である。また、三角形OPAは二等辺三角形なので、$OH = \frac{1}{2} OA$となる。（Pからx軸に下ろした垂線は底辺OAを二等分する）

したがって、$OA = 2OH = 2a$である。

三角形POAの面積は、

$\frac{1}{2} \times OA \times PH = \frac{1}{2} \times 2a \times (a+3) = a(a+3)$

これが28に等しいので、

$a(a+3) = 28$

$a^2 + 3a = 28$

$a^2 + 3a - 28 = 0$

$(a+7)(a-4) = 0$

$a>0$より、$a=4$

点Pのx座標は$a=4$である。点Pは直線$y=x+3$上にあるので、点Pのy座標は、$y = 4 + 3 = 7$である。

したがって、求める点Pの座標は$(4, 7)$である。

3. 最終的な答え

点Pのx座標は4なので、点Pの座標は、$a=4$を$y = a + 3$に代入すると、$a^2$にはならない。点Pのy座標は、$y = a+3$と書ける。したがって、点Pの座標は$(a, a+3)$となる。面積の式から$a=4$が求まったので、点Pの座標は$(4, 4+3) = (4,7)$となる。

したがって、求める点Pの座標は $(4, 7)$ です。