平行四辺形ABCDにおいて、辺ABを3:2に内分する点をE、対角線BDを2:5に内分する点をFとする。 (1) 3点E, F, Cが一直線上にあることを証明せよ。 (2) EF:FCを求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺ABを3:2に内分する点をE、対角線BDを2:5に内分する点をFとする。

(1) 3点E, F, Cが一直線上にあることを証明せよ。

(2) EF:FCを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 3点E, F, Cが一直線上にあることの証明

$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AD} = \vec{d}$とおく。

点Eは辺ABを3:2に内分するので、

$\overrightarrow{AE} = \frac{3}{5}\overrightarrow{AB} = \frac{3}{5}\vec{b}$

点Fは辺BDを2:5に内分するので、

$\overrightarrow{AF} = \frac{5\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AD}}{2+5} = \frac{5\vec{b} + 2\vec{d}}{7}$

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \vec{b} + \vec{d}$

$\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AE} = \frac{5\vec{b} + 2\vec{d}}{7} - \frac{3}{5}\vec{b} = \frac{25\vec{b} + 10\vec{d} - 21\vec{b}}{35} = \frac{4\vec{b} + 10\vec{d}}{35} = \frac{2}{35}(2\vec{b} + 5\vec{d})$

$\overrightarrow{EC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AE} = \vec{b} + \vec{d} - \frac{3}{5}\vec{b} = \frac{2}{5}\vec{b} + \vec{d} = \frac{1}{5}(2\vec{b} + 5\vec{d})$

よって、$\overrightarrow{EF} = \frac{2}{35} \cdot 5 \overrightarrow{EC} = \frac{2}{7}\overrightarrow{EC}$

したがって、$\overrightarrow{EF} = k \overrightarrow{EC}$ (kは実数) となるので、3点E, F, Cは一直線上にある。

(2) EF:FCの計算

$\overrightarrow{EF} = \frac{2}{7}\overrightarrow{EC}$より、$\overrightarrow{EC} = \frac{7}{2}\overrightarrow{EF}$

$\overrightarrow{EC} = \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FC}$なので、$\frac{7}{2}\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FC}$

$\frac{5}{2}\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{FC}$

よって、$5\overrightarrow{EF} = 2\overrightarrow{FC}$となり、$\overrightarrow{EF} = \frac{2}{5}\overrightarrow{FC}$

したがって、EF:FC = 2:5

3. 最終的な答え

(1) 3点E, F, Cは一直線上にある。

(2) EF:FC = 2:5