焦点が $(0, 2)$ と $(0, -2)$ であり、長軸の長さが $8$ である楕円の方程式を求めます。

1. 問題の内容

焦点が $(0, 2)$ と $(0, -2)$ であり、長軸の長さが $8$ である楕円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

* 楕円の中心を求める。焦点が $(0, 2)$ と $(0, -2)$ であることから、楕円の中心はこれらの焦点の中点である $(0, 0)$ であることがわかります。

* 長軸の長さを $2a$ とすると、$2a = 8$ であるので、$a = 4$ となります。

* 焦点の座標から $c$ の値を求めます。焦点の座標は $(0, \pm c)$ と表せるので、$c = 2$ となります。

* 楕円の短軸の長さを $b$ とすると、$a^2 = b^2 + c^2$ の関係が成り立ちます。したがって、$b^2 = a^2 - c^2$ となります。

$a = 4$ と $c = 2$ を代入すると、

$b^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12$

となります。したがって、$b = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ となります。

* 楕円の中心が $(0, 0)$ であり、焦点が $y$ 軸上にあるので、楕円の方程式は次のようになります。

$\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$

$a^2 = 16$ と $b^2 = 12$ を代入すると、

$\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{16} = 1$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{16} = 1$