三角形ABCにおいて、辺ACの中点をD、線分BDの中点をE、辺BCを1:2に内分する点をFとする。このとき、3点A, E, Fが一直線上にあることを示し、線分AEとEFの長さの比 $AE:EF$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ACの中点をD、線分BDの中点をE、辺BCを1:2に内分する点をFとする。このとき、3点A, E, Fが一直線上にあることを示し、線分AEとEFの長さの比 $AE:EF$を求める。

2. 解き方の手順

$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$、$\overrightarrow{AC} = \vec{c}$と置く。

このとき、$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\vec{c}$である。

$\overrightarrow{AE}$を求める。EはBDの中点なので、

$\overrightarrow{AE} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}}{2} = \frac{\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}}{2} = \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}$

$\overrightarrow{AF}$を求める。FはBCを1:2に内分する点なので、

$\overrightarrow{AF} = \frac{2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{1+2} = \frac{2\vec{b} + \vec{c}}{3} = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$

ここで、$AE$と$AF$が平行であることを示すために、実数$k$を用いて$\overrightarrow{AF} = k\overrightarrow{AE}$となることを示す。

$\overrightarrow{AF} = k\overrightarrow{AE}$より、

$\frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c} = k(\frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c})$

$\frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c} = \frac{k}{2}\vec{b} + \frac{k}{4}\vec{c}$

$\vec{b}$と$\vec{c}$は一次独立なので、

$\frac{2}{3} = \frac{k}{2}$、$\frac{1}{3} = \frac{k}{4}$

これらより、$k = \frac{4}{3}$となる。

したがって、$\overrightarrow{AF} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AE}$となるので、3点A, E, Fは一直線上にある。

また、$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EF}$であり、$\overrightarrow{AF} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AE}$なので、

$\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EF} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AE}$

$\overrightarrow{EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AE}$

よって、$AE : EF = 1 : \frac{1}{3}$

したがって、$AE:EF = 3:1$

3. 最終的な答え

3点A, E, Fは一直線上にある。

$AE:EF = 3:1$