$\triangle OAB$ があり、辺 $OA$ を $2:1$ に内分する点を $D$、辺 $OB$ を $3:2$ に内分する点を $E$ とします。線分 $AE$ と $BD$ の交点を $P$ とします。$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$ とするとき、$\vec{OP}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ を用いて表してください。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ があり、辺 $OA$ を $2:1$ に内分する点を $D$、辺 $OB$ を $3:2$ に内分する点を $E$ とします。線分 $AE$ と $BD$ の交点を $P$ とします。$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$ とするとき、$\vec{OP}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ を用いて表してください。

2. 解き方の手順

まず、点 $P$ が線分 $AE$ 上にあることから、実数 $s$ を用いて

$$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{OE}$$

と表せます。$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OE} = \frac{3}{5}\vec{b}$ を代入すると

$$\vec{OP} = (1-s)\vec{a} + \frac{3}{5}s\vec{b}$$

次に、点 $P$ が線分 $BD$ 上にあることから、実数 $t$ を用いて

$$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OD}$$

と表せます。$\vec{OB} = \vec{b}$、$\vec{OD} = \frac{2}{3}\vec{a}$ を代入すると

$$\vec{OP} = \frac{2}{3}t\vec{a} + (1-t)\vec{b}$$

$\vec{a}$、$\vec{b}$ は一次独立なので、係数を比較して

$$1-s = \frac{2}{3}t$$

$$\frac{3}{5}s = 1-t$$

これらの式を解きます。

最初の式から $s = 1 - \frac{2}{3}t$ を得ます。これを2番目の式に代入すると、

$$\frac{3}{5}(1-\frac{2}{3}t) = 1-t$$

$$\frac{3}{5} - \frac{2}{5}t = 1-t$$

$$\frac{3}{5}t = \frac{2}{5}$$

$$t = \frac{2}{3}$$

これを $s = 1 - \frac{2}{3}t$ に代入すると

$$s = 1 - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$$

したがって、$\vec{OP}$ は

$$\vec{OP} = (1-s)\vec{a} + \frac{3}{5}s\vec{b} = (1-\frac{5}{9})\vec{a} + \frac{3}{5}\cdot \frac{5}{9}\vec{b} = \frac{4}{9}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$$

あるいは

$$\vec{OP} = \frac{2}{3}t\vec{a} + (1-t)\vec{b} = \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\vec{a} + (1-\frac{2}{3})\vec{b} = \frac{4}{9}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{4}{9}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$