## 5. 問題の内容

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5. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、$OA = 6$, $OB = 4$, $\angle AOB = 60^\circ$ である。頂点Aから辺OBに下ろした垂線をAC、頂点Bから辺OAに下ろした垂線をBDとする。線分ACと線分BDの交点をHとする。このとき、$\overrightarrow{OH}$ を $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$を用いて表す。

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2. 解き方の手順

1. 点Hは$\triangle OAB$の垂心である。

2. $\overrightarrow{OH} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ とおく。

3. $AC \perp OB$より、$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$ である。

4. $\overrightarrow{OC} = k\overrightarrow{OB}$とおくと、$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = k\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$なので、$(k\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) \cdot \overrightarrow{OB} = 0$。

5. 同様に、$BD \perp OA$より、$\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{OA} = 0$ である。

6. $\overrightarrow{OD} = l\overrightarrow{OA}$とおくと、$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OB} = l\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}$なので、$(l\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) \cdot \overrightarrow{OA} = 0$。

7. $\overrightarrow{AH} \perp \overrightarrow{OB}$より、$\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$。

$\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OA} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (s-1)\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$なので、 $((s-1)\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}) \cdot \overrightarrow{OB} = 0$。

8. $\overrightarrow{BH} \perp \overrightarrow{OA}$より、$\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{OA} = 0$。

$\overrightarrow{BH} = \overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OB} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OB} = s\overrightarrow{OA} + (t-1)\overrightarrow{OB}$なので、 $(s\overrightarrow{OA} + (t-1)\overrightarrow{OB}) \cdot \overrightarrow{OA} = 0$。

まず、$OA = 6$, $OB = 4$, $\angle AOB = 60^\circ$ より、$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = |\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\cos{60^\circ} = 6 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 12$。

$\overrightarrow{OH} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$とおく。

$\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$ より、

$((s-1)\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}) \cdot \overrightarrow{OB} = 0$

$(s-1)(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}) + t|\overrightarrow{OB}|^2 = 0$

$(s-1)(12) + t(4^2) = 0$

$12(s-1) + 16t = 0$

$12s - 12 + 16t = 0$

$3s + 4t = 3$

$\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{OA} = 0$ より、

$(s\overrightarrow{OA} + (t-1)\overrightarrow{OB}) \cdot \overrightarrow{OA} = 0$

$s|\overrightarrow{OA}|^2 + (t-1)(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}) = 0$

$s(6^2) + (t-1)(12) = 0$

$36s + 12(t-1) = 0$

$36s + 12t - 12 = 0$

$3s + t = 1$

$3s + 4t = 3$ と $3s + t = 1$ より、辺々引くと $3t = 2$, $t = \frac{2}{3}$。

$3s + \frac{2}{3} = 1$ より、$3s = \frac{1}{3}$, $s = \frac{1}{9}$。

よって、$\overrightarrow{OH} = \frac{1}{9}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$。

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3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OH} = \frac{1}{9}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$