問題1: 3点A($\vec{a}$), B($\vec{b}$), C($\vec{c}$)を頂点とする$\triangle ABC$について、以下の点の位置ベクトルを$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表せ。 (1) 辺BCの中点をMとするとき、線分AMを2:3に内分する点N (2) $\triangle ABC$の重心をGとするとき、線分AGを5:3に外分する点D 問題2: $\triangle ABC$の辺BC, CA, ABを5:3に内分する点を、それぞれD, E, Fとするとき、$\vec{AD} + \vec{BE} + \vec{CF} = \vec{0}$であることを証明せよ。

1. 問題の内容

問題1: 3点A($\vec{a}$), B($\vec{b}$), C($\vec{c}$)を頂点とする$\triangle ABC$について、以下の点の位置ベクトルを$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表せ。

(1) 辺BCの中点をMとするとき、線分AMを2:3に内分する点N

(2) $\triangle ABC$の重心をGとするとき、線分AGを5:3に外分する点D

問題2: $\triangle ABC$の辺BC, CA, ABを5:3に内分する点を、それぞれD, E, Fとするとき、$\vec{AD} + \vec{BE} + \vec{CF} = \vec{0}$であることを証明せよ。

2. 解き方の手順

問題1(1)

まず、点Mの位置ベクトル$\vec{m}$を求める。Mは辺BCの中点なので、

$\vec{m} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$

次に、点Nは線分AMを2:3に内分するので、点Nの位置ベクトル$\vec{n}$は、

$\vec{n} = \frac{3\vec{a} + 2\vec{m}}{2 + 3} = \frac{3\vec{a} + 2(\frac{\vec{b} + \vec{c}}{2})}{5} = \frac{3\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{5}$

問題1(2)

$\triangle ABC$の重心Gの位置ベクトル$\vec{g}$は、

$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

次に、点Dは線分AGを5:3に外分するので、点Dの位置ベクトル$\vec{d}$は、

$\vec{d} = \frac{-3\vec{a} + 5\vec{g}}{5 - 3} = \frac{-3\vec{a} + 5(\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3})}{2} = \frac{-9\vec{a} + 5\vec{a} + 5\vec{b} + 5\vec{c}}{6} = \frac{-4\vec{a} + 5\vec{b} + 5\vec{c}}{6}$

問題2

点Dは辺BCを5:3に内分するので、

$\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = \frac{5\vec{c} + 3\vec{b}}{8} - \vec{a}$

$\vec{AD} = \frac{-8\vec{a} + 3\vec{b} + 5\vec{c}}{8}$

点Eは辺CAを5:3に内分するので、

$\vec{BE} = \vec{e} - \vec{b} = \frac{5\vec{a} + 3\vec{c}}{8} - \vec{b}$

$\vec{BE} = \frac{5\vec{a} - 8\vec{b} + 3\vec{c}}{8}$

点Fは辺ABを5:3に内分するので、

$\vec{CF} = \vec{f} - \vec{c} = \frac{5\vec{b} + 3\vec{a}}{8} - \vec{c}$

$\vec{CF} = \frac{3\vec{a} + 5\vec{b} - 8\vec{c}}{8}$

よって、

$\vec{AD} + \vec{BE} + \vec{CF} = \frac{-8\vec{a} + 3\vec{b} + 5\vec{c}}{8} + \frac{5\vec{a} - 8\vec{b} + 3\vec{c}}{8} + \frac{3\vec{a} + 5\vec{b} - 8\vec{c}}{8} = \frac{(-8 + 5 + 3)\vec{a} + (3 - 8 + 5)\vec{b} + (5 + 3 - 8)\vec{c}}{8} = \frac{0\vec{a} + 0\vec{b} + 0\vec{c}}{8} = \vec{0}$

3. 最終的な答え

問題1(1): $\vec{n} = \frac{3\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{5}$

問題1(2): $\vec{d} = \frac{-4\vec{a} + 5\vec{b} + 5\vec{c}}{6}$

問題2: $\vec{AD} + \vec{BE} + \vec{CF} = \vec{0}$ （証明終わり）