ベクトル $\vec{a} = (1, -2)$ と平行で、大きさが2であるベクトルを求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (1, -2)$ と平行で、大きさが2であるベクトルを求める。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル $\vec{a}$ の単位ベクトルを求める。ベクトルの大きさ $|\vec{a}|$ は、

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$

したがって、$\vec{a}$ の単位ベクトル $\vec{e}$ は、

$\vec{e} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{(1, -2)}{\sqrt{5}} = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{-2}{\sqrt{5}}\right)$

大きさが2で、$\vec{a}$ と平行なベクトルは、単位ベクトル $\vec{e}$ を2倍すれば得られる。また、逆向きのベクトルも存在する。したがって、求めるベクトルは以下の2つである。

$2\vec{e} = 2\left(\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{-2}{\sqrt{5}}\right) = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{-4}{\sqrt{5}}\right)$

$-2\vec{e} = -2\left(\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{-2}{\sqrt{5}}\right) = \left(\frac{-2}{\sqrt{5}}, \frac{4}{\sqrt{5}}\right)$

3. 最終的な答え

$\left(\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{-4}{\sqrt{5}}\right)$ と $\left(\frac{-2}{\sqrt{5}}, \frac{4}{\sqrt{5}}\right)$

(または、$\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}, \frac{-4\sqrt{5}}{5}\right)$ と $\left(\frac{-2\sqrt{5}}{5}, \frac{4\sqrt{5}}{5}\right)$)