以下の3つの条件を満たす球面の方程式をそれぞれ求めます。 (1) 原点を中心とし、点(1, 2, -2)を通る球面 (2) 中心が点(-1, 4, 2)で、$xy$平面に接する球 (3) 点(2, -2, 5)と点(4, 0, 5)を直径の両端とする球面

1. 問題の内容

以下の3つの条件を満たす球面の方程式をそれぞれ求めます。

(1) 原点を中心とし、点(1, 2, -2)を通る球面

(2) 中心が点(-1, 4, 2)で、$xy$平面に接する球

(3) 点(2, -2, 5)と点(4, 0, 5)を直径の両端とする球面

2. 解き方の手順

(1) 原点を中心とする球の方程式は、$x^2 + y^2 + z^2 = r^2$と表されます。点(1, 2, -2)を通るため、この点を代入して半径$r$を求めます。

$1^2 + 2^2 + (-2)^2 = r^2$

$1 + 4 + 4 = r^2$

$r^2 = 9$

したがって、$r = 3$です。

(2) 中心が点(-1, 4, 2)である球の方程式は、$(x+1)^2 + (y-4)^2 + (z-2)^2 = r^2$と表されます。この球が$xy$平面に接するということは、球の中心から$xy$平面までの距離が半径$r$に等しいということです。中心(-1, 4, 2)から$xy$平面までの距離は、$|z|$座標の絶対値である$|2| = 2$です。したがって、$r=2$です。

(3) 直径の両端が与えられたとき、球の中心は2点の座標の平均、半径は中心からどちらかの端点までの距離で求めます。

中心の座標は$\left(\frac{2+4}{2}, \frac{-2+0}{2}, \frac{5+5}{2}\right) = (3, -1, 5)$となります。

半径は、中心(3, -1, 5)から点(2, -2, 5)までの距離として計算できます。

$r^2 = (3-2)^2 + (-1-(-2))^2 + (5-5)^2 = (1)^2 + (1)^2 + (0)^2 = 1 + 1 + 0 = 2$

したがって、$r = \sqrt{2}$です。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 + z^2 = 9$

(2) $(x+1)^2 + (y-4)^2 + (z-2)^2 = 4$

(3) $(x-3)^2 + (y+1)^2 + (z-5)^2 = 2$