与えられた直線について、媒介変数表示と、媒介変数を消去した形で表す問題です。 (1) 点 $A(1, 3, -1)$ を通り、ベクトル $\vec{u} = (2, 1, 3)$ に平行な直線。 (2) 2点 $A(1, 2, 3)$, $B(-1, 1, 2)$ を通る直線。

1. 問題の内容

与えられた直線について、媒介変数表示と、媒介変数を消去した形で表す問題です。

(1) 点 $A(1, 3, -1)$ を通り、ベクトル $\vec{u} = (2, 1, 3)$ に平行な直線。

(2) 2点 $A(1, 2, 3)$, $B(-1, 1, 2)$ を通る直線。

2. 解き方の手順

(1)

点 $A(x_0, y_0, z_0)$ を通り、ベクトル $\vec{u} = (a, b, c)$ に平行な直線の媒介変数表示は、

$x = x_0 + at$, $y = y_0 + bt$, $z = z_0 + ct$ で表されます。

この場合、$A(1, 3, -1)$ を通り、$\vec{u} = (2, 1, 3)$ に平行な直線なので、

$x = 1 + 2t$

$y = 3 + t$

$z = -1 + 3t$

となります。

媒介変数 $t$ を消去するため、$t$ について解きます。

$t = y - 3$

これを $x$ と $z$ の式に代入します。

$x = 1 + 2(y - 3) = 1 + 2y - 6 = 2y - 5$

$z = -1 + 3(y - 3) = -1 + 3y - 9 = 3y - 10$

よって、$x = 2y - 5$ と $z = 3y - 10$ となります。

(2)

2点 $A(x_1, y_1, z_1)$ と $B(x_2, y_2, z_2)$ を通る直線の媒介変数表示は、

$x = x_1 + (x_2 - x_1)t$, $y = y_1 + (y_2 - y_1)t$, $z = z_1 + (z_2 - z_1)t$ で表されます。

この場合、$A(1, 2, 3)$ と $B(-1, 1, 2)$ を通る直線なので、

$x = 1 + (-1 - 1)t = 1 - 2t$

$y = 2 + (1 - 2)t = 2 - t$

$z = 3 + (2 - 3)t = 3 - t$

となります。

媒介変数 $t$ を消去するため、$t$ について解きます。

$t = 2 - y$

これを $x$ と $z$ の式に代入します。

$x = 1 - 2(2 - y) = 1 - 4 + 2y = 2y - 3$

$z = 3 - (2 - y) = 3 - 2 + y = y + 1$

よって、$x = 2y - 3$ と $z = y + 1$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 媒介変数表示:

$x = 1 + 2t$

$y = 3 + t$

$z = -1 + 3t$

$t$ を消去した形:

$x = 2y - 5$

$z = 3y - 10$

(2) 媒介変数表示:

$x = 1 - 2t$

$y = 2 - t$

$z = 3 - t$

$t$ を消去した形:

$x = 2y - 3$

$z = y + 1$