3点 $A(1,1,2)$, $B(2,3,5)$, $C(-5,3,-2)$ が与えられたとき、三角形 $ABC$ の面積を求める。 三角形の面積を求めるために、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ としたときの面積 $S = \frac{1}{2} \sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$ を利用する。

1. 問題の内容

3点 $A(1,1,2)$, $B(2,3,5)$, $C(-5,3,-2)$ が与えられたとき、三角形 $ABC$ の面積を求める。

三角形の面積を求めるために、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ としたときの面積 $S = \frac{1}{2} \sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$ を利用する。

2. 解き方の手順

まず、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を計算する。

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (2-1, 3-1, 5-2) = (1, 2, 3)$

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = (-5-1, 3-1, -2-2) = (-6, 2, -4)$

次に、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の絶対値の2乗を計算する。

$|\overrightarrow{AB}|^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14$

$|\overrightarrow{AC}|^2 = (-6)^2 + 2^2 + (-4)^2 = 36 + 4 + 16 = 56$

次に、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の内積を計算する。

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (1)(-6) + (2)(2) + (3)(-4) = -6 + 4 - 12 = -14$

上記の公式に代入する。

$S = \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2 |\overrightarrow{AC}|^2 - (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2}$

$S = \frac{1}{2} \sqrt{14 \cdot 56 - (-14)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{784 - 196} = \frac{1}{2} \sqrt{588}$

$S = \frac{1}{2} \sqrt{4 \cdot 147} = \frac{1}{2} \sqrt{4 \cdot 49 \cdot 3} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 7 \sqrt{3} = 7 \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$7\sqrt{3}$