原点をOとし、$\overrightarrow{OA} = (6, 3)$、$\overrightarrow{OB} = (-2, 7)$とするとき、線分ABを1:3の比に外分する点Qの、点Oに関する位置ベクトル$\overrightarrow{OQ}$を求める。

1. 問題の内容

原点をOとし、$\overrightarrow{OA} = (6, 3)$、$\overrightarrow{OB} = (-2, 7)$とするとき、線分ABを1:3の比に外分する点Qの、点Oに関する位置ベクトル$\overrightarrow{OQ}$を求める。

2. 解き方の手順

線分ABを$m:n$に外分する点Qの位置ベクトル$\overrightarrow{OQ}$は、

$$\overrightarrow{OQ} = \frac{-m\overrightarrow{OA} + n\overrightarrow{OB}}{n-m}$$

で与えられます。今回の問題では、$m=1$, $n=3$なので、

$$\overrightarrow{OQ} = \frac{-1\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}}{3-1} = \frac{-\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}}{2}$$

$\overrightarrow{OA} = (6, 3)$、$\overrightarrow{OB} = (-2, 7)$を代入すると、

$$\overrightarrow{OQ} = \frac{-(6, 3) + 3(-2, 7)}{2} = \frac{(-6, -3) + (-6, 21)}{2} = \frac{(-12, 18)}{2} = (-6, 9)$$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{q} = (-6, 9)$