(1) 座標空間上の2点 $A(4, -1, 3)$ と $B(2, 1, 1)$ を通る直線と $xy$ 平面の交点の座標を求める問題。 (2) 座標空間上の4点 $O(0, 0, 0)$, $A(1, 3, -2)$, $B(3, -1, 1)$, $C(-1, t, -5)$ が同一平面上にあるように $t$ の値を定める問題。

1. 問題の内容

(1) 座標空間上の2点 $A(4, -1, 3)$ と $B(2, 1, 1)$ を通る直線と $xy$ 平面の交点の座標を求める問題。

(2) 座標空間上の4点 $O(0, 0, 0)$, $A(1, 3, -2)$, $B(3, -1, 1)$, $C(-1, t, -5)$ が同一平面上にあるように $t$ の値を定める問題。

2. 解き方の手順

(1) 直線ABのベクトル方程式を求める。

ベクトル$\vec{AB} = (2-4, 1-(-1), 1-3) = (-2, 2, -2)$.

したがって、直線ABのベクトル方程式は、

$(x, y, z) = (4, -1, 3) + s(-2, 2, -2)$ (sは実数) と表せる。

$xy$ 平面との交点では $z=0$ なので、

$3 - 2s = 0$ より、 $s = \frac{3}{2}$。

これをベクトル方程式に代入すると、

$(x, y, z) = (4, -1, 3) + \frac{3}{2}(-2, 2, -2) = (4-3, -1+3, 3-3) = (1, 2, 0)$.

よって、交点の座標は $(1, 2, 0)$.

(2) 4点 $O, A, B, C$ が同一平面上にあるとき、ベクトル $\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC}$ は一次従属である。

すなわち、実数 $p, q$ を用いて、$\vec{OC} = p\vec{OA} + q\vec{OB}$ と表せる。

$\vec{OA} = (1, 3, -2)$, $\vec{OB} = (3, -1, 1)$, $\vec{OC} = (-1, t, -5)$ より、

$(-1, t, -5) = p(1, 3, -2) + q(3, -1, 1) = (p+3q, 3p-q, -2p+q)$

よって、以下の連立方程式を得る。

$p+3q = -1$

$3p-q = t$

$-2p+q = -5$

1番目の式と3番目の式から $p$ と $q$ を求める。

$p+3q = -1$

$-2p+q = -5$

1番目の式を2倍して2番目の式に足すと、

$2(p+3q) + (-2p+q) = 2(-1) + (-5)$

$2p + 6q - 2p + q = -2 - 5$

$7q = -7$

$q = -1$

これを $p+3q = -1$ に代入すると、

$p + 3(-1) = -1$

$p - 3 = -1$

$p = 2$

$p=2, q=-1$ を $3p-q = t$ に代入すると、

$t = 3(2) - (-1) = 6 + 1 = 7$

3. 最終的な答え

(1) (11, 12) = (1, 2)

(2) 13 = 7