三角形ABCがあり、辺BC, CA, ABをそれぞれ3:2の比に内分する点をL, M, Nとする。ベクトル$\vec{AB} = \vec{b}$、$\vec{AC} = \vec{c}$を用いて、$\vec{AL} + \vec{BM} + \vec{CN}$を計算する問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、辺BC, CA, ABをそれぞれ3:2の比に内分する点をL, M, Nとする。ベクトル$\vec{AB} = \vec{b}$、$\vec{AC} = \vec{c}$を用いて、$\vec{AL} + \vec{BM} + \vec{CN}$を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、各ベクトルを$\vec{b}$と$\vec{c}$で表します。

点Lは辺BCを3:2に内分するので、

$\vec{AL} = \frac{2\vec{AB} + 3\vec{AC}}{3+2} = \frac{2\vec{b} + 3\vec{c}}{5}$

点Mは辺CAを3:2に内分するので、

$\vec{AM} = \frac{2\vec{AC} + 3\vec{AA}}{3+2} = \frac{2\vec{c} + 3\vec{0}}{5} = \frac{2}{5}\vec{c}$

$\vec{BM} = \vec{AM} - \vec{AB} = \frac{2}{5}\vec{c} - \vec{b}$

点Nは辺ABを3:2に内分するので、

$\vec{AN} = \frac{2\vec{AA} + 3\vec{AB}}{3+2} = \frac{3\vec{b}}{5}$

$\vec{CN} = \vec{AN} - \vec{AC} = \frac{3}{5}\vec{b} - \vec{c}$

したがって、

$\vec{AL} + \vec{BM} + \vec{CN} = (\frac{2\vec{b} + 3\vec{c}}{5}) + (\frac{2}{5}\vec{c} - \vec{b}) + (\frac{3}{5}\vec{b} - \vec{c}) = (\frac{2}{5}-1+\frac{3}{5})\vec{b} + (\frac{3}{5}+\frac{2}{5}-1)\vec{c} = (\frac{2-5+3}{5})\vec{b} + (\frac{3+2-5}{5})\vec{c} = 0\vec{b} + 0\vec{c} = \vec{0}$

3. 最終的な答え

$\vec{0}$