三角形ABCの重心をGとする。Aを基点としたときの点B, Cの位置ベクトルをそれぞれ$\vec{b}$, $\vec{c}$とするとき、ベクトル$\vec{AG}$を$\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表す。

1. 問題の内容

三角形ABCの重心をGとする。Aを基点としたときの点B, Cの位置ベクトルをそれぞれ$\vec{b}$, $\vec{c}$とするとき、ベクトル$\vec{AG}$を$\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

重心Gの位置ベクトル$\vec{g}$は、各頂点の位置ベクトルの平均で表される。Aを基点としているので、A, B, Cの位置ベクトルはそれぞれ$\vec{0}, \vec{b}, \vec{c}$となる。したがって、重心Gの位置ベクトル$\vec{g}$は、

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\vec{g} = \frac{\vec{0} + \vec{b} + \vec{c}}{3} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{3}

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$\vec{AG}$は、$\vec{g} - \vec{0}$で表されるので、

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\vec{AG} = \vec{g} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{3}

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3. 最終的な答え

$\vec{AG} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{3}$