三角形ABCにおいて、辺BCを3:1に内分する点をD、外分する点をEとし、三角形ABCの重心をGとする。 ベクトル$\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AE}$, $\overrightarrow{AG}$, $\overrightarrow{BD}$を$\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$を用いて表す問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BCを3:1に内分する点をD、外分する点をEとし、三角形ABCの重心をGとする。

ベクトル$\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AE}$, $\overrightarrow{AG}$, $\overrightarrow{BD}$を$\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AD}$について：

点Dは辺BCを3:1に内分するので、内分点の公式より、

$\overrightarrow{AD} = \frac{1 \cdot \overrightarrow{AB} + 3 \cdot \overrightarrow{AC}}{3+1} = \frac{\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}}{4}$

(2) $\overrightarrow{AE}$について：

点Eは辺BCを3:1に外分するので、外分点の公式より、

$\overrightarrow{AE} = \frac{-1 \cdot \overrightarrow{AB} + 3 \cdot \overrightarrow{AC}}{3-1} = \frac{-\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}}{2}$

(3) $\overrightarrow{AG}$について：

点Gは三角形ABCの重心なので、

$\overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{AA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{3} = \frac{\overrightarrow{0} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{3} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

(4) $\overrightarrow{BD}$について：

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AD} = \frac{\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}}{4}$であるから、

$\overrightarrow{BD} = \frac{\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}}{4} - \overrightarrow{AB} = \frac{\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC} - 4\overrightarrow{AB}}{4} = \frac{-3\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}}{4} = -\frac{3}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{AD} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$

(2) $\overrightarrow{AE} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$

(3) $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

(4) $\overrightarrow{BD} = -\frac{3}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$