座標平面上の3点 $A(9, 12), B(0, 0), C(25, 0)$ を頂点とする三角形ABCについて、以下の問いに答えます。 (1) 三角形ABCの内接円の半径と中心の座標を求めます。 (2) 三角形ABCの外接円の方程式を求めます。

1. 問題の内容

座標平面上の3点 $A(9, 12), B(0, 0), C(25, 0)$ を頂点とする三角形ABCについて、以下の問いに答えます。

(1) 三角形ABCの内接円の半径と中心の座標を求めます。

(2) 三角形ABCの外接円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 三角形ABCの内接円の半径と中心の座標を求めます。

まず、三角形ABCの各辺の長さを求めます。

$AB = \sqrt{(9-0)^2 + (12-0)^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$

$BC = \sqrt{(25-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{625} = 25$

$CA = \sqrt{(9-25)^2 + (12-0)^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$

三角形ABCの周の長さ $L = AB + BC + CA = 15 + 25 + 20 = 60$

三角形ABCの面積 $S$ は、ヘロンの公式より、

$s = L/2 = 30$

$S = \sqrt{s(s-AB)(s-BC)(s-CA)} = \sqrt{30(30-15)(30-25)(30-20)} = \sqrt{30 \cdot 15 \cdot 5 \cdot 10} = \sqrt{22500} = 150$

内接円の半径を $r$ とすると、$S = \frac{1}{2} r L$ より、$150 = \frac{1}{2} r \cdot 60$

$r = \frac{150 \cdot 2}{60} = \frac{300}{60} = 5$

内接円の中心を $(x, y)$ とすると、これは各辺からの距離が $r=5$ となる点です。

内接円の中心は、$AB$, $BC$, $CA$からの距離が等しい点です。

$BC$の方程式は $y=0$ なので、$y=5$ となります。

$AB$ の方程式を求めます。傾きは $\frac{12-0}{9-0} = \frac{4}{3}$ なので、$y = \frac{4}{3}x$ すなわち $4x - 3y = 0$

$CA$ の方程式を求めます。傾きは $\frac{12-0}{9-25} = \frac{12}{-16} = -\frac{3}{4}$

$y - 0 = -\frac{3}{4}(x - 25)$ すなわち $4y = -3x + 75$ つまり $3x + 4y - 75 = 0$

点 $(x, 5)$ からの $AB$ の距離は $\frac{|4x - 3(5)|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|4x - 15|}{5} = 5$

$|4x - 15| = 25$

$4x - 15 = 25$ または $4x - 15 = -25$

$4x = 40$ または $4x = -10$

$x = 10$ または $x = -2.5$

点 $(x, 5)$ からの $CA$ の距離は $\frac{|3x + 4(5) - 75|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3x - 55|}{5} = 5$

$|3x - 55| = 25$

$3x - 55 = 25$ または $3x - 55 = -25$

$3x = 80$ または $3x = 30$

$x = \frac{80}{3}$ または $x = 10$

よって、内接円の中心は $(10, 5)$ となります。

(2) 三角形ABCの外接円の方程式を求めます。

外接円の中心を $(p, q)$、半径を $R$ とすると、

$(9-p)^2 + (12-q)^2 = (0-p)^2 + (0-q)^2 = (25-p)^2 + (0-q)^2 = R^2$

$81 - 18p + p^2 + 144 - 24q + q^2 = p^2 + q^2 = 625 - 50p + p^2 + q^2$

$225 - 18p - 24q = 0$ より $18p + 24q = 225$

$p^2 + q^2 = 625 - 50p + p^2 + q^2$ より $50p = 625$, $p = \frac{625}{50} = \frac{25}{2} = 12.5$

$18(12.5) + 24q = 225$

$225 + 24q = 225$

$24q = 0$ より $q = 0$

外接円の中心は $(\frac{25}{2}, 0)$

$R^2 = (\frac{25}{2})^2 + 0^2 = \frac{625}{4}$

外接円の方程式は $(x - \frac{25}{2})^2 + y^2 = \frac{625}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 内接円の半径: $5$, 中心: $(10, 5)$

(2) 外接円の方程式: $(x - \frac{25}{2})^2 + y^2 = \frac{625}{4}$