長方形の土地の周りに幅 $a$ mの道がついている。土地の縦の長さを $h$ m、横の長さを $2h$ mとする。道の面積を $S$ m$^2$、道の中央を通る線の長さを $l$ mとするとき、$S = al$ となることを説明する問題です。

1. 問題の内容

長方形の土地の周りに幅 $a$ mの道がついている。土地の縦の長さを $h$ m、横の長さを $2h$ mとする。道の面積を $S$ m$^2$、道の中央を通る線の長さを $l$ mとするとき、$S = al$ となることを説明する問題です。

2. 解き方の手順

まず、道の面積 $S$ を求めます。

道の面積は、外側の長方形の面積から内側の長方形の面積を引いたものになります。

外側の長方形の縦の長さは $h + 2a$、横の長さは $2h + 2a$ です。

内側の長方形の縦の長さは $h$、横の長さは $2h$ です。

$S = (h + 2a)(2h + 2a) - h(2h)$

$S = 2h^2 + 2ah + 4ah + 4a^2 - 2h^2$

$S = 6ah + 4a^2$ ... (1)

次に、道の中央を通る線の長さ $l$ を求めます。

道の中央を通る長方形の縦の長さは $h + a$、横の長さは $2h + a$ です。

$l = 2(h + a) + 2(2h + a)$

$l = 2h + 2a + 4h + 2a$

$l = 6h + 4a$

よって、$al$ は以下のようになります。

$al = a(6h + 4a)$

$al = 6ah + 4a^2$ ... (2)

(1)と(2)より、$S = al$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

長方形の土地の縦の長さを $h$ mとすると、横の長さは $2h$ mと表せる。

よって道の面積 $S$ は $6ah + 4a^2$ m$^2$。

ところで、$l = 6h + 4a$ より、$al = 6ah + 4a^2$。

①、②より、$S = al$ が成り立つ。