三角形ABCがあり、辺ABを1:3に内分する点をD、辺BCを2:3に内分する点をEとする。線分CDとAEの交点をFとする。 (1) 線分AF:FEとCF:FDの比を求める。 (2) 三角形ABF, BCF, CAFの面積をそれぞれT1, T2, T3とおく。三角形BEFの面積が2Sのとき、三角形CFEの面積、T1, T3をSで表し、T1:T2:T3の比を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、辺ABを1:3に内分する点をD、辺BCを2:3に内分する点をEとする。線分CDとAEの交点をFとする。

(1) 線分AF:FEとCF:FDの比を求める。

(2) 三角形ABF, BCF, CAFの面積をそれぞれT1, T2, T3とおく。三角形BEFの面積が2Sのとき、三角形CFEの面積、T1, T3をSで表し、T1:T2:T3の比を求める。

2. 解き方の手順

(1) メネラウスの定理を用いる。

三角形ADCと直線AEについて、

$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{CF}{FA} = 1$

$\frac{CF}{FA} = \frac{9}{2}$

$\frac{AF}{CF} = \frac{2}{9}$

よって、$AF:FE$ を求めるために、三角形BCEと直線CDについて、

$\frac{BC}{CE} \cdot \frac{EF}{FA} \cdot \frac{AD}{DB} = 1$

$\frac{5}{3} \cdot \frac{EF}{FA} \cdot \frac{1}{3} = 1$

$\frac{EF}{FA} = \frac{9}{5}$

$\frac{AF}{EF} = \frac{5}{9}$

したがって、$AF:FE = 5:9$。

次に、$CF:FD$ を求める。

三角形ABDと直線CEについて、メネラウスの定理を用いる。

$\frac{BC}{CE} \cdot \frac{EF}{FA} \cdot \frac{AD}{DB} = 1$

$\frac{BC}{CE} \cdot \frac{FA}{AF} \cdot \frac{EF}{DB} = 1$

三角形BCEと直線ADについて考える

$\frac{BA}{AD} \cdot \frac{DF}{FC} \cdot \frac{CE}{EB} = 1$

$\frac{4}{1} \cdot \frac{DF}{FC} \cdot \frac{3}{2} = 1$

$\frac{DF}{FC} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

したがって、$CF:FD = 6:1$。

(2) $AF:FE = 5:9$ であるから、$\triangle ABE = \triangle BEF + \triangle ABF$より、

$\triangle ABE = 2S + \triangle ABF$。

また、$AB:AD= 4:1$ より $\triangle BCE = 5S$。

$BE:EC = 2:3$より$\triangle ABE = \frac{2}{5} \triangle ABC$なので、$\triangle ABC = \frac{5}{2}\triangle ABE$

$\triangle CFE$ の面積を求める。$\triangle AFE$ の面積は、$\frac{9}{5} \triangle ABF$。

$\triangle ABE = \frac{2}{5}\triangle ABC$

$\triangle ABC = \triangle ABF + \triangle BCF + \triangle CAF$

$\triangle AFE = \frac{9}{5}S$ であるから、$\triangle CFE = \frac{3}{2} \times \triangle BFE = \frac{3}{2}\cdot 2S = 3S$.

$\frac{T_1}{2S} = \frac{AF}{FE}=\frac{5}{9}$

$T_1 = \frac{10}{9} S$。

$\frac{AD}{AB} = \frac{1}{4}$ であり、$\frac{AF}{AE}=\frac{5}{14}$だから、$\triangle ADF= \frac{1}{4}\cdot\frac{5}{14}\triangle ABE= \frac{5}{56} \triangle ABE$。

$\triangle CAF= \triangle CAE - \triangle CFE = \frac{3}{5} ABE = \frac{3}{5} \times (2S+T1)= \frac{3}{5}(2+ \frac{10}{9})S=\frac{3}{5} \times \frac{28}{9}S= \frac{28}{15}S$.

$T_3= \frac{28}{15}S$.

$T_1:T_2:T_3 = \frac{10}{9}S:5S:\frac{28}{15}S = \frac{10}{9}:\frac{45}{9}: \frac{28}{15} = \frac{50}{45}: \frac{225}{45}:\frac{84}{45}$

$50:225:84$

3. 最終的な答え

AF:FE = 5:9

CF:FD = 6:1

三角形CFEの面積は3S。

$T_1 = \frac{10}{9}S$

$T_3 = \frac{28}{15}S$

$T_1:T_2:T_3 = 50:225:84$