ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ があり、 $|\vec{a}| = \sqrt{2}$, $|\vec{b}| = 1$ である。$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が作る平行四辺形の面積が 1 であるとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ があり、 $|\vec{a}| = \sqrt{2}$, $|\vec{b}| = 1$ である。$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が作る平行四辺形の面積が 1 であるとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を求めよ。

2. 解き方の手順

平行四辺形の面積は $|\vec{a}| |\vec{b}| \sin{\theta}$ で与えられる。ここで $\theta$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角である。

与えられた条件から、

$|\vec{a}| = \sqrt{2}$

$|\vec{b}| = 1$

$|\vec{a}| |\vec{b}| \sin{\theta} = 1$

である。

これらの値を代入すると、

$\sqrt{2} \times 1 \times \sin{\theta} = 1$

$\sin{\theta} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\theta$ は $0 \le \theta \le \pi$ の範囲にあるので、

$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角は $\frac{\pi}{4}$ または $\frac{3\pi}{4}$ である。