以下の円の方程式をそれぞれ求めます。 (1) 中心が原点、半径が7 (2) 中心が点(5, -3)、半径が4 (3) 中心が点(-3, 5)で、$x$軸に接する円 (4) 中心が点(-2, 1)で、$y$軸に接する円 (5) 2点(0, 1), (2, 3)を直径の両端とする円

1. 問題の内容

以下の円の方程式をそれぞれ求めます。

(1) 中心が原点、半径が7

(2) 中心が点(5, -3)、半径が4

(3) 中心が点(-3, 5)で、$x$軸に接する円

(4) 中心が点(-2, 1)で、$y$軸に接する円

(5) 2点(0, 1), (2, 3)を直径の両端とする円

2. 解き方の手順

円の方程式は、中心$(a, b)$、半径$r$とすると、

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

で表されます。

(1) 中心が原点(0, 0)、半径が7なので、$a = 0$, $b = 0$, $r = 7$を代入します。

$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 7^2$

$x^2 + y^2 = 49$

(2) 中心が点(5, -3)、半径が4なので、$a = 5$, $b = -3$, $r = 4$を代入します。

$(x - 5)^2 + (y - (-3))^2 = 4^2$

$(x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 16$

(3) 中心が点(-3, 5)で、$x$軸に接する円なので、中心の$y$座標が半径に等しくなります。よって、$a = -3$, $b = 5$, $r = 5$を代入します。

$(x - (-3))^2 + (y - 5)^2 = 5^2$

$(x + 3)^2 + (y - 5)^2 = 25$

(4) 中心が点(-2, 1)で、$y$軸に接する円なので、中心の$x$座標の絶対値が半径に等しくなります。よって、$a = -2$, $b = 1$, $r = |-2| = 2$を代入します。

$(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = 2^2$

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 4$

(5) 2点(0, 1), (2, 3)を直径の両端とする円の中心は、2点の中点です。

中心の座標は

$(\frac{0 + 2}{2}, \frac{1 + 3}{2}) = (1, 2)$

半径は、中心(1, 2)と点(0, 1)の距離です。

$r = \sqrt{(1 - 0)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

よって、$a = 1$, $b = 2$, $r = \sqrt{2}$を代入します。

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{2})^2$

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 2$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 = 49$

(2) $(x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 16$

(3) $(x + 3)^2 + (y - 5)^2 = 25$

(4) $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 4$

(5) $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 2$