一辺の長さが10の正三角形ABCがある。点Aを通る円が辺BC（端点を除く）と点Xで接し、辺AB, ACとそれぞれAでない点D, Eで交わっている。$BX > CX$ であり、$AD + AE = 13$ が成り立つとき、線分BXの長さを求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが10の正三角形ABCがある。点Aを通る円が辺BC（端点を除く）と点Xで接し、辺AB, ACとそれぞれAでない点D, Eで交わっている。$BX > CX$ であり、$AD + AE = 13$ が成り立つとき、線分BXの長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、方べきの定理を利用します。

円が点Xで辺BCに接しているので、$BX^2 = BD \cdot BA$と$CX^2 = CE \cdot CA$が成り立ちます。

$AB = AC = 10$であるから、

$BX^2 = BD \cdot 10$と$CX^2 = CE \cdot 10$となります。

したがって、$BD = \frac{BX^2}{10}$と$CE = \frac{CX^2}{10}$となります。

$AD = AB - BD = 10 - BD = 10 - \frac{BX^2}{10}$

$AE = AC - CE = 10 - CE = 10 - \frac{CX^2}{10}$

$AD + AE = 13$なので、

$(10 - \frac{BX^2}{10}) + (10 - \frac{CX^2}{10}) = 13$

$20 - \frac{BX^2 + CX^2}{10} = 13$

$\frac{BX^2 + CX^2}{10} = 7$

$BX^2 + CX^2 = 70$

また、$BX + CX = BC = 10$です。

したがって、$CX = 10 - BX$を代入すると、

$BX^2 + (10 - BX)^2 = 70$

$BX^2 + 100 - 20BX + BX^2 = 70$

$2BX^2 - 20BX + 30 = 0$

$BX^2 - 10BX + 15 = 0$

解の公式より、$BX = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 15}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 5 \pm \sqrt{10}$

$BX > CX$なので、$BX > 5$となる必要があります。

$5 + \sqrt{10} \approx 5 + 3.16 = 8.16$

$5 - \sqrt{10} \approx 5 - 3.16 = 1.84$

$CX = 10 - BX$ なので、$BX = 5 + \sqrt{10}$のとき$CX = 5 - \sqrt{10}$となり、$BX > CX$を満たします。

$BX = 5 - \sqrt{10}$のとき$CX = 5 + \sqrt{10}$となり、$BX < CX$となるため不適です。

3. 最終的な答え

$BX = 5 + \sqrt{10}$