点$(3, 2)$を通り、2点$(-3, -2)$と$(5, 7)$を結ぶ線分に平行な直線と、垂直な直線のそれぞれの方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

点$(3, 2)$を通り、2点$(-3, -2)$と$(5, 7)$を結ぶ線分に平行な直線と、垂直な直線のそれぞれの方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2点$(-3, -2)$と$(5, 7)$を結ぶ線分の傾きを求めます。傾き$m$は、

$$$$

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

$$$$

で計算できます。

$x_1 = -3$, $y_1 = -2$, $x_2 = 5$, $y_2 = 7$を代入すると、

$$$$

m = \frac{7 - (-2)}{5 - (-3)} = \frac{9}{8}

$$$$

となります。

次に、点$(3, 2)$を通り、傾きが$\frac{9}{8}$の直線の方程式を求めます。点$(x_0, y_0)$を通り、傾きが$m$の直線の方程式は、

$$$$

y - y_0 = m(x - x_0)

$$$$

で表されます。

$x_0 = 3$, $y_0 = 2$, $m = \frac{9}{8}$を代入すると、

$$$$

y - 2 = \frac{9}{8}(x - 3)

$$$$

両辺に8を掛けて、

$$$$

8(y - 2) = 9(x - 3)

$$$$

$$$$

8y - 16 = 9x - 27

$$$$

$$$$

9x - 8y - 11 = 0

$$$$

これが、求める平行な直線の方程式です。

次に、点$(3, 2)$を通り、2点$(-3, -2)$と$(5, 7)$を結ぶ線分に垂直な直線の方程式を求めます。

2つの直線が垂直であるとき、それぞれの傾きを$m_1$, $m_2$とすると、$m_1 m_2 = -1$の関係があります。

平行な直線の傾きは$\frac{9}{8}$なので、垂直な直線の傾きは、

$$$$

m_{\perp} = -\frac{1}{\frac{9}{8}} = -\frac{8}{9}

$$$$

となります。

点$(3, 2)$を通り、傾きが$-\frac{8}{9}$の直線の方程式は、

$$$$

y - 2 = -\frac{8}{9}(x - 3)

$$$$

両辺に9を掛けて、

$$$$

9(y - 2) = -8(x - 3)

$$$$

$$$$

9y - 18 = -8x + 24

$$$$

$$$$

8x + 9y - 42 = 0

$$$$

これが、求める垂直な直線の方程式です。

3. 最終的な答え

平行な直線の方程式：$9x - 8y - 11 = 0$

垂直な直線の方程式：$8x + 9y - 42 = 0$