与えられた方程式 $x^2 + y^2 + 2mx - 2(m-1)y + 5m^2 = 0$ が円を表すとき、定数 $m$ の値の範囲を求め、さらにこの円の半径を最大にする $m$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $x^2 + y^2 + 2mx - 2(m-1)y + 5m^2 = 0$ が円を表すとき、定数 $m$ の値の範囲を求め、さらにこの円の半径を最大にする $m$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を円の方程式の一般形 $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ と比較し、円の中心と半径を求めます。

与えられた方程式を平方完成します。

$(x+m)^2 - m^2 + (y-(m-1))^2 - (m-1)^2 + 5m^2 = 0$

$(x+m)^2 + (y-(m-1))^2 = m^2 + (m-1)^2 - 5m^2$

$(x+m)^2 + (y-(m-1))^2 = m^2 + m^2 - 2m + 1 - 5m^2$

$(x+m)^2 + (y-(m-1))^2 = -3m^2 - 2m + 1$

円を表すためには、右辺が正である必要があります。つまり、

$-3m^2 - 2m + 1 > 0$

$3m^2 + 2m - 1 < 0$

$(3m - 1)(m + 1) < 0$

$-1 < m < \frac{1}{3}$

したがって、$m$ の範囲は $-1 < m < \frac{1}{3}$ です。

次に、半径の二乗 $r^2 = -3m^2 - 2m + 1$ を最大にする $m$ の値を求めます。

$r^2 = -3m^2 - 2m + 1 = -3(m^2 + \frac{2}{3}m) + 1$

$r^2 = -3(m + \frac{1}{3})^2 + 3(\frac{1}{9}) + 1 = -3(m + \frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} + 1$

$r^2 = -3(m + \frac{1}{3})^2 + \frac{4}{3}$

$r^2$ が最大となるのは、$m = -\frac{1}{3}$ のときです。

このとき、$r^2 = \frac{4}{3}$ なので、半径 $r = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ となります。

$-\frac{1}{3}$ は $-1 < m < \frac{1}{3}$ の範囲内にあるので条件を満たします。

3. 最終的な答え

$m$ の値の範囲: $-1 < m < \frac{1}{3}$

半径を最大にする $m$ の値: $m = -\frac{1}{3}$