与えられた点と直線の距離を求めます。具体的には、以下の3つの問題があります。 (3) 点 $(2, -3)$ と直線 $y = 3x - 4$ (4) 点 $(-3, 2)$ と直線 $2x - 3y + 6 = 0$ (5) 点 $(4, 7)$ と直線 $y = -1$ (6) 点 $(-2, 5)$ と直線 $x = 3$

1. 問題の内容

与えられた点と直線の距離を求めます。具体的には、以下の3つの問題があります。

(3) 点 $(2, -3)$ と直線 $y = 3x - 4$

(4) 点 $(-3, 2)$ と直線 $2x - 3y + 6 = 0$

(5) 点 $(4, 7)$ と直線 $y = -1$

(6) 点 $(-2, 5)$ と直線 $x = 3$

2. 解き方の手順

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、以下の公式で求められます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

(3) 点 $(2, -3)$ と直線 $y = 3x - 4$ (すなわち $3x - y - 4 = 0$)

$x_0 = 2$, $y_0 = -3$, $a = 3$, $b = -1$, $c = -4$ を代入します。

$d = \frac{|3(2) - (-3) - 4|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|6 + 3 - 4|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{5\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{2}$

(4) 点 $(-3, 2)$ と直線 $2x - 3y + 6 = 0$

$x_0 = -3$, $y_0 = 2$, $a = 2$, $b = -3$, $c = 6$ を代入します。

$d = \frac{|2(-3) - 3(2) + 6|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|-6 - 6 + 6|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{|-6|}{\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}} = \frac{6\sqrt{13}}{13}$

(5) 点 $(4, 7)$ と直線 $y = -1$ (すなわち $y + 1 = 0$)

$x_0 = 4$, $y_0 = 7$, $a = 0$, $b = 1$, $c = 1$ を代入します。

$d = \frac{|0(4) + 1(7) + 1|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{|7 + 1|}{\sqrt{1}} = \frac{8}{1} = 8$

(6) 点 $(-2, 5)$ と直線 $x = 3$ (すなわち $x - 3 = 0$)

$x_0 = -2$, $y_0 = 5$, $a = 1$, $b = 0$, $c = -3$ を代入します。

$d = \frac{|1(-2) + 0(5) - 3|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = \frac{|-2 - 3|}{\sqrt{1}} = \frac{|-5|}{1} = 5$

3. 最終的な答え

(3) $\frac{\sqrt{10}}{2}$

(4) $\frac{6\sqrt{13}}{13}$

(5) $8$

(6) $5$