点と直線の距離を求める問題です。具体的には、以下の3つの問題について解きます。 (3) 点(2, -3)と直線 $y = 3x - 4$ の距離 (5) 点(4, 7)と直線 $y = -1$ の距離 (6) 点(-2, 5)と直線 $x = 3$ の距離

1. 問題の内容

点と直線の距離を求める問題です。具体的には、以下の3つの問題について解きます。

(3) 点(2, -3)と直線 $y = 3x - 4$ の距離

(5) 点(4, 7)と直線 $y = -1$ の距離

(6) 点(-2, 5)と直線 $x = 3$ の距離

2. 解き方の手順

点$(x_0, y_0)$と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、以下の公式で求められます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

(3) 点(2, -3)と直線 $y = 3x - 4$ について

直線の式を変形すると、$3x - y - 4 = 0$ となります。よって、$a = 3$, $b = -1$, $c = -4$ です。

点(2, -3)との距離は、

$d = \frac{|3(2) + (-1)(-3) - 4|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|6 + 3 - 4|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{5\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{2}$

(5) 点(4, 7)と直線 $y = -1$ について

直線の式を変形すると、$y + 1 = 0$ となります。よって、$a = 0$, $b = 1$, $c = 1$ です。

点(4, 7)との距離は、

$d = \frac{|0(4) + 1(7) + 1|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{|0 + 7 + 1|}{\sqrt{0 + 1}} = \frac{8}{1} = 8$

(6) 点(-2, 5)と直線 $x = 3$ について

直線の式を変形すると、$x - 3 = 0$ となります。よって、$a = 1$, $b = 0$, $c = -3$ です。

点(-2, 5)との距離は、

$d = \frac{|1(-2) + 0(5) - 3|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = \frac{|-2 + 0 - 3|}{\sqrt{1 + 0}} = \frac{|-5|}{1} = 5$

3. 最終的な答え

(3) $\frac{\sqrt{10}}{2}$

(5) $8$

(6) $5$