直線 $y=3x+1$ に関して、円 $(x-4)^2 + (y-3)^2 = 1$ と対称な円の方程式を求める。

1. 問題の内容

直線 $y=3x+1$ に関して、円 $(x-4)^2 + (y-3)^2 = 1$ と対称な円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

円 $(x-4)^2 + (y-3)^2 = 1$ の中心は $(4, 3)$ であり、半径は $1$ である。直線 $y=3x+1$ に関して点 $(4, 3)$ と対称な点を $(a, b)$ とする。

このとき、

1. 線分と直線の交点が線分の中点になることを利用する。

線分 $(4, 3)$ と $(a, b)$ の中点は $(\frac{4+a}{2}, \frac{3+b}{2})$ である。

この中点が直線 $y=3x+1$ 上にあるので、

$$\frac{3+b}{2} = 3\frac{4+a}{2} + 1$$

$$3+b = 3(4+a) + 2$$

$$3+b = 12 + 3a + 2$$

$$b = 3a + 11 \quad ... (1)$$

2. 線分と直線が垂直であることを利用する。

線分 $(4, 3)$ と $(a, b)$ の傾きは $\frac{b-3}{a-4}$ である。直線 $y=3x+1$ の傾きは $3$ である。

この2つの直線が垂直なので、

$$\frac{b-3}{a-4} \cdot 3 = -1$$

$$3(b-3) = -(a-4)$$

$$3b - 9 = -a + 4$$

$$3b = -a + 13 \quad ... (2)$$

(1)と(2)を連立して解く。

$3(3a+11) = -a+13$

$9a + 33 = -a + 13$

$10a = -20$

$a = -2$

(1)に代入して $b = 3(-2) + 11 = -6+11 = 5$

よって、対称な点の座標は $(-2, 5)$ となる。

求める円の方程式は、中心が $(-2, 5)$ で半径が $1$ の円なので、

$(x+2)^2 + (y-5)^2 = 1$

3. 最終的な答え

$(x+2)^2 + (y-5)^2 = 1$