一辺の長さが2の正六角形ABCDEFにおいて、以下のベクトルの内積を求める問題です。 (1) $\vec{AB} \cdot \vec{AO}$ (2) $\vec{OA} \cdot \vec{OC}$ (3) $\vec{AB} \cdot \vec{BD}$ (4) $\vec{AC} \cdot \vec{BF}$

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正六角形ABCDEFにおいて、以下のベクトルの内積を求める問題です。

(1) $\vec{AB} \cdot \vec{AO}$

(2) $\vec{OA} \cdot \vec{OC}$

(3) $\vec{AB} \cdot \vec{BD}$

(4) $\vec{AC} \cdot \vec{BF}$

2. 解き方の手順

正六角形の性質とベクトルの内積の定義を利用して解きます。内積の定義は $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$ です。

(1) $\vec{AB} \cdot \vec{AO}$

$|\vec{AB}| = 2$

$|\vec{AO}| = 2$

$\angle BAO = 30^\circ = \frac{\pi}{6}$

よって、

$\vec{AB} \cdot \vec{AO} = 2 \cdot 2 \cdot \cos{\frac{\pi}{6}} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

(2) $\vec{OA} \cdot \vec{OC}$

$|\vec{OA}| = 2$

$|\vec{OC}| = 2$

$\angle AOC = 120^\circ = \frac{2\pi}{3}$

よって、

$\vec{OA} \cdot \vec{OC} = 2 \cdot 2 \cdot \cos{\frac{2\pi}{3}} = 4 \cdot (-\frac{1}{2}) = -2$

(3) $\vec{AB} \cdot \vec{BD}$

$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$と分解できる。

正六角形の性質より、$|\vec{AD}| = 4$ であり、$\vec{AD}$と$\vec{AB}$は$60^\circ$の角度をなす。

よって

$\vec{AB} \cdot \vec{BD} = \vec{AB} \cdot (\vec{AD} - \vec{AB}) = \vec{AB} \cdot \vec{AD} - \vec{AB} \cdot \vec{AB} = 2 \cdot 4 \cdot \cos{\frac{\pi}{3}} - 2^2 = 8 \cdot \frac{1}{2} - 4 = 4 - 4 = 0$

(4) $\vec{AC} \cdot \vec{BF}$

正六角形の性質より、$|\vec{AC}| = 2\sqrt{3}$

$|\vec{BF}| = 2\sqrt{3}$

$\vec{AC}$と$\vec{BF}$は平行であり、同じ向きである。

よって $\angle(\vec{AC}, \vec{BF}) = 0^\circ$

$\vec{AC} \cdot \vec{BF} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{BF}| \cdot \cos 0^\circ = 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 1 = 12$

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{3}$

(2) $-2$

(3) $0$

(4) $12$