$\triangle ABC$ において、辺 $AB$ を $4:1$ に内分する点を $D$、辺 $AC$ を $4:3$ に内分する点を $E$ とします。$\triangle ABC$ の重心を $G$ とするとき、3点 $D, G, E$ が一直線上にあることを証明してください。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、辺 $AB$ を $4:1$ に内分する点を $D$、辺 $AC$ を $4:3$ に内分する点を $E$ とします。$\triangle ABC$ の重心を $G$ とするとき、3点 $D, G, E$ が一直線上にあることを証明してください。

2. 解き方の手順

ベクトルを用いて証明します。点 $A$ を始点とする位置ベクトルを考えます。

$\vec{a} = \vec{AA} = \vec{0}$

$\vec{b} = \vec{AB}$

$\vec{c} = \vec{AC}$

と置きます。

点 $D$ は辺 $AB$ を $4:1$ に内分するので、

$\vec{AD} = \frac{4\vec{b} + 1\vec{a}}{4+1} = \frac{4}{5}\vec{b}$

点 $E$ は辺 $AC$ を $4:3$ に内分するので、

$\vec{AE} = \frac{4\vec{c} + 3\vec{a}}{4+3} = \frac{4}{7}\vec{c}$

点 $G$ は $\triangle ABC$ の重心なので、

$\vec{AG} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} = \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$

3点 $D, G, E$ が一直線上にあるためには、ある実数 $k$ が存在して、$\vec{DG} = k\vec{DE}$ と表される必要があります。

$\vec{DG} = \vec{AG} - \vec{AD} = \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c} - \frac{4}{5}\vec{b} = (\frac{1}{3} - \frac{4}{5})\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c} = -\frac{7}{15}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$

$\vec{DE} = \vec{AE} - \vec{AD} = \frac{4}{7}\vec{c} - \frac{4}{5}\vec{b} = -\frac{4}{5}\vec{b} + \frac{4}{7}\vec{c}$

ここで、$\vec{DG} = k\vec{DE}$ と仮定すると、

$-\frac{7}{15}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c} = k(-\frac{4}{5}\vec{b} + \frac{4}{7}\vec{c})$

$-\frac{7}{15} = -\frac{4}{5}k$ かつ $\frac{1}{3} = \frac{4}{7}k$

この連立方程式を解くと、

$k = \frac{7}{15} \cdot \frac{5}{4} = \frac{7}{12}$

$k = \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{4} = \frac{7}{12}$

どちらの式からも $k = \frac{7}{12}$ が得られます。したがって、$\vec{DG} = \frac{7}{12}\vec{DE}$ となり、3点 $D, G, E$ は一直線上にあります。

3. 最終的な答え

3点 $D, G, E$ は一直線上にある。（証明終わり）