三角形OABがあり、重心をGとする。pを正の実数とし、$(3p-2)\vec{PO}-2p\vec{PA}-p\vec{PB}=\vec{0}$を満たす点Pをとる。$\vec{a}=\vec{OA}, \vec{b}=\vec{OB}$とするとき、以下の問いに答えよ。 (1) $\vec{OG}, \vec{OP}$を$\vec{a}, \vec{b}$を用いて表せ。 (2) 直線OPと直線ABの交点をCとするとき、$\vec{OC}$を$\vec{a}, \vec{b}$を用いて表せ。また、OP:OCとAC:CBを求めよ。 (3) qを正の実数として、$\vec{OQ}=q\vec{OB}$を満たす点Qをとり、3点P, G, Qが一直線上にあるときを考える。 (i) qをpを用いて表せ。 (ii) 三角形OABの面積をS, 三角形OPQの面積をTとするとき、S:T=27:8となるようなp, qの組(p, q)を求めよ。

1. 問題の内容

三角形OABがあり、重心をGとする。pを正の実数とし、$(3p-2)\vec{PO}-2p\vec{PA}-p\vec{PB}=\vec{0}$を満たす点Pをとる。$\vec{a}=\vec{OA}, \vec{b}=\vec{OB}$とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) $\vec{OG}, \vec{OP}$を$\vec{a}, \vec{b}$を用いて表せ。

(2) 直線OPと直線ABの交点をCとするとき、$\vec{OC}$を$\vec{a}, \vec{b}$を用いて表せ。また、OP:OCとAC:CBを求めよ。

(3) qを正の実数として、$\vec{OQ}=q\vec{OB}$を満たす点Qをとり、3点P, G, Qが一直線上にあるときを考える。

(i) qをpを用いて表せ。

(ii) 三角形OABの面積をS, 三角形OPQの面積をTとするとき、S:T=27:8となるようなp, qの組(p, q)を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{OG}$について

重心Gは、三角形OABの頂点から対辺の中点に引いた線分の交点である。

したがって、$\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OO}}{3} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{0}}{3}$

$\vec{OG} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$

$\vec{OP}$について

$(3p-2)\vec{PO}-2p\vec{PA}-p\vec{PB}=\vec{0}$

$(3p-2)\vec{PO}+2p\vec{AP}+p\vec{BP}=\vec{0}$

$(3p-2)\vec{PO}+2p(\vec{AO}+\vec{OP})+p(\vec{BO}+\vec{OP})=\vec{0}$

$-(3p-2)\vec{OP}-2p\vec{OA}+2p\vec{OP}-p\vec{OB}+p\vec{OP}=\vec{0}$

$-(3p-2-2p-p)\vec{OP}=2p\vec{OA}+p\vec{OB}$

$3p\vec{OP}=2p\vec{a}+p\vec{b}$

$\vec{OP}=\frac{2p}{3p}\vec{a}+\frac{p}{3p}\vec{b}$

$\vec{OP}=\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}$

(2) $\vec{OC}$について

点Cは直線OP上にあるので、実数kを用いて$\vec{OC}=k\vec{OP}$と表せる。

$\vec{OC} = k(\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}) = \frac{2k}{3}\vec{a} + \frac{k}{3}\vec{b}$

点Cは直線AB上にあるので、$\frac{2k}{3}+\frac{k}{3}=1$となる。

よって、$k=1$

$\vec{OC} = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$

OP:OCについて

$\vec{OC}=k\vec{OP}$でk=1なので、OP:OC = 1:1

AC:CBについて

$\vec{OC} = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$より、点Cは線分ABを1:2に内分する点である。

よって、AC:CB=2:1

(3) (i) $\vec{OQ}=q\vec{OB}$を満たす点Qをとり、3点P, G, Qが一直線上にあるときを考える。

$\vec{PG} = \vec{OG} - \vec{OP} = \frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b} - \frac{2}{3}\vec{a} - \frac{1}{3}\vec{b} = -\frac{1}{3}\vec{a}$

$\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = q\vec{b} - \frac{2}{3}\vec{a} - \frac{1}{3}\vec{b} = -\frac{2}{3}\vec{a} + (q-\frac{1}{3})\vec{b}$

3点P, G, Qが一直線上にあるので、$\vec{PQ} = k\vec{PG}$となる実数kが存在する。

$-\frac{2}{3}\vec{a} + (q-\frac{1}{3})\vec{b} = k(-\frac{1}{3}\vec{a})$

$-\frac{2}{3}\vec{a} + (q-\frac{1}{3})\vec{b} = -\frac{k}{3}\vec{a}$

$\vec{a}, \vec{b}$は一次独立なので、

$-\frac{2}{3} = -\frac{k}{3}$

$q-\frac{1}{3} = 0$

よって、$k=2, q = \frac{1}{3}$

qはpに関係なく定数となるので、pの値を求めるまでもない。

(ii)

三角形OABの面積をS, 三角形OPQの面積をTとするとき、S:T=27:8となるようなp, qの組(p, q)を求めよ。

S:T = 27:8

$S = \frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|sin\theta$

$T = \frac{1}{2}|\vec{OP}||\vec{OQ}|sin\theta = \frac{1}{2}|\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}||q\vec{b}|sin\theta$

$T = \frac{1}{2}|\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}||\frac{1}{3}\vec{b}|sin\theta = \frac{1}{18}|2\vec{a} + \vec{b}||\vec{b}|sin\theta$

$\vec{OP}=\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}$

$\vec{OQ}=q\vec{OB}=\frac{1}{3}\vec{b}$

$T = \frac{1}{2}|\frac{2}{3}\vec{a}||\frac{1}{3}\vec{b}|sin\theta=\frac{1}{9}S \frac{|\frac{2}{3}\vec{a}||\frac{1}{3}\vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

面積比の公式を用いる。

$S_{OPQ}=|\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \times 0| S = \frac{2}{9} S$

$S:T=27:8$

$S:\frac{2}{9}S = 27:8$

$\frac{9}{2} = \frac{27}{8}$は矛盾する。

よって、条件を満たすp,qは存在しない。

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OG} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}, \vec{OP} = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$

(2) $\vec{OC} = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}, OP:OC = 1:1, AC:CB=2:1$

(3) (i) $q = \frac{1}{3}$ (pによらない)

(ii) 解なし