ベクトル $\vec{a} = (2, 4)$、$\vec{b} = (-1, 1)$、$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{b}$ が与えられている。 $|\vec{p}|$ の最小値を求め、そのときの $t$ の値を求めよ。ただし、$t$ は実数とする。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, 4)$、$\vec{b} = (-1, 1)$、$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{b}$ が与えられている。

$|\vec{p}|$ の最小値を求め、そのときの $t$ の値を求めよ。ただし、$t$ は実数とする。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{p}$ を $t$ を用いて表す。

$\vec{p} = (2, 4) + t(-1, 1) = (2-t, 4+t)$

次に、$|\vec{p}|$ を計算する。

$|\vec{p}| = \sqrt{(2-t)^2 + (4+t)^2}$

$|\vec{p}|^2 = (2-t)^2 + (4+t)^2 = (4 - 4t + t^2) + (16 + 8t + t^2) = 2t^2 + 4t + 20$

$|\vec{p}|^2$ を最小にする $t$ の値を求めるために、平方完成を行う。

$|\vec{p}|^2 = 2(t^2 + 2t) + 20 = 2(t^2 + 2t + 1 - 1) + 20 = 2(t+1)^2 - 2 + 20 = 2(t+1)^2 + 18$

$|\vec{p}|^2$ は $t = -1$ のとき最小値 $18$ をとる。

したがって、$|\vec{p}|$ は $t = -1$ のとき最小値 $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ をとる。

3. 最終的な答え

$|\vec{p}|$ の最小値は $3\sqrt{2}$ であり、そのときの $t$ の値は $-1$ である。