平行四辺形ABCDにおいて、$AE:EB = 2:1$, $BF:FC = 3:1$, 点Gは辺CDの中点である。線分DEとAF, AGとの交点をそれぞれH, Iとするとき、$EI:ID$を求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、$AE:EB = 2:1$, $BF:FC = 3:1$, 点Gは辺CDの中点である。線分DEとAF, AGとの交点をそれぞれH, Iとするとき、$EI:ID$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、点Eを通り、辺BCに平行な直線を引き、線分AFとの交点をJとする。

$\triangle AJE \sim \triangle CFE$であるから、$AJ:CF = AE:EC$となる。

$AE:EB = 2:1$より、$AE:AB = 2:3$である。$AB=CD$より、$AE:CD = 2:3$。

また、$BF:FC = 3:1$より、$FC = \frac{1}{4}BC = \frac{1}{4}AD$である。

$AJ:CF = AE:EC$より、$AJ:(\frac{1}{4}AD) = 2:(3-2) = 2:1$なので、$AJ = \frac{1}{2}AD$となる。

よって、$JD = AD - AJ = AD - \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}AD$となり、$AJ = JD$となる。

次に、$\triangle ADI \sim \triangle GEI$であるから、$AI:GI = AD:GE$となる。

$GE = BC + CE = AD + CE$となる。

$\triangle ADI \sim \triangle GEI$より、$DI:EI = AD:GE$となる。

$EI:ID$を求めるために、$DE$と$AF$との交点$H$を考える。メネラウスの定理を$\triangle AFD$と直線$DE$に適用すると、

$\frac{AE}{EF} \cdot \frac{FC}{CD} \cdot \frac{DH}{HA} = 1$

$\frac{AE}{EB} = \frac{2}{1}$

$\frac{FC}{BF} = \frac{1}{3}$

$\frac{FC}{BC} = \frac{1}{4}$

$BC = AD$

$CD = AB$

$\frac{FC}{CD} = \frac{\frac{1}{4}AD}{AB} = \frac{\frac{1}{4}AB}{AB} = \frac{1}{4}$

よって、$\frac{2}{1} \cdot \frac{FC}{CD} = \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

$\frac{DH}{HA} = 2$

$AH:HD = 1:2$

メネラウスの定理を$\triangle CED$と直線$AG$に適用すると、

$\frac{CG}{GD} \cdot \frac{DI}{IE} \cdot \frac{EA}{AC} = 1$

$\frac{CG}{GD} = 1$

よって、$\frac{DI}{IE} \cdot \frac{EA}{AC} = 1$となり、$\frac{DI}{IE} = \frac{AC}{AE}$となる。

$AE:EB = 2:1$なので、$AB:AE = 3:2$となる。

平行四辺形の対角線は互いに他を二等分するので、$AC = 2AO$となる。

$\triangle AEI \sim \triangle DGI$となるので、$EI:ID = AE:DG = 2: \frac{3}{2} = 4:3$

3. 最終的な答え

$EI:ID = 4:3$